Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · 2026

a) Justifique, indicando los teoremas en los que se basa, que la ecuación $x^3-2x^2+2x-2=0$ tiene una única solución real y encuentre dicha solución con un error menor de una décima. [1,25 puntos]

b) Dada la función $g(x)=-x^2+2x+2$, determine el área de la región limitada por las gráficas de las funciones $g(x)$ y $g^{\mathrm{\prime }}(x)$. [1,25 puntos]

Llamamos $h(x)=x^3-2x^2+2x-2$, que por ser polinómica es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.

Existencia, por el teorema de Bolzano: buscamos dos puntos en los que la función cambie de signo.

$h(1)=1-2+2-2=-1<0h(2)=8-8+4-2=2>0$

Al ser $h$ continua en $[1,2]$ y tomar valores de distinto signo en los extremos, existe al menos una raíz en $(1,2)$.

Unicidad, por el teorema de Rolle: si hubiera dos raíces, entre ellas la derivada tendría que anularse.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4x+2\mathrm{\Delta }=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=16-24=-8<0$

La derivada no tiene raíces reales y, al ser positivo su coeficiente principal, $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ siempre: la función es estrictamente creciente y no puede cortar al eje más de una vez.

Para acotar la raíz vamos bisecando el intervalo hasta que su amplitud baje de una décima.

$h(\mathrm{1,5})=\mathrm{3,375}-\mathrm{4,5}+3-2=-\mathrm{0,125}<0\Rightarrow \text{la ra}\acute{\text{ı}}\text{z est}\acute{\text{a}}\text{ en }(\mathrm{1,5};2)$

$h(\mathrm{1,6})=\mathrm{4,096}-\mathrm{5,12}+\mathrm{3,2}-2=\mathrm{0,176}>0\Rightarrow \text{la ra}\acute{\text{ı}}\text{z est}\acute{\text{a}}\text{ en }(\mathrm{1,5};\mathrm{1,6})$

La solución está en el intervalo $(\mathrm{1,5};\mathrm{1,6})$, de amplitud una décima, así que tomando $x\approx \mathrm{1,5}$ el error es menor que $\mathrm{0,1}$.



La región queda entre los puntos de corte de la parábola con su recta derivada, así que empezamos igualándolas.

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+2$

$-x^2+2x+2=-2x+2\Rightarrow -x^2+4x=0\Rightarrow x(4-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$

Entre esos dos valores la parábola queda por encima de la recta, pues la diferencia $g(x)-g^{\mathrm{\prime }}(x)=-x^2+4x$ es positiva en $(0,4)$; por ejemplo, en $x=2$ vale 4. El área es la integral de esa diferencia.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^4(-x^2+4x)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2]}_0^4$

$=-{\displaystyle \frac{64}{3}}+32={\displaystyle \frac{-64+96}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área de la región limitada por las dos gráficas es de ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de superficie.