Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · 2021

Problema 3.

Dada la función $f(x)=x{e}^{1-x^2}$, calculad:

a) El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. (4 puntos)
b) Las asíntotas y la gráfica de $f$. (3 puntos)
c) La integral $\int f(x)dx$. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{dominio,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$
a) El dominio de la función son todos los reales, pues es una exponencial y polinomios.
Dominio $f(x)=\mathbb{R}$

Hallamos su derivada y la igualamos a cero en busca de sus puntos críticos.

$f(x)=x{e}^{1-x^2}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{1-x^2}+x(-2x)e^{1-x^2}=e^{1-x^2}-2x^2{e}^{1-x^2}=e^{1-x^2}(1-2x^2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow e^{1-x^2}(1-2x^2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}{e}^{1-x^2}=0\\ 1-2x^2=0\end{array}$$\Rightarrow$$\{\begin{array}{l}{e}^{1-x^2}=0,sinsoluci\acute{o}n\\ 1-2x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Estudiamos el signo de la derivada antes, entre y después de estos dos valores.

• En $(-\mathrm{\infty },-\frac{\sqrt{2}}{2})$ tomamos $x=-1$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=e^{1-1}(1-2(-1{)}^2)=1(1-2)=-1<0$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-\frac{\sqrt{2}}{2})$.

• En $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ tomamos $x=0$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(0)=e^1(1)=e>0$

La función crece en $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$.

• En $(\frac{\sqrt{2}}{2},+\mathrm{\infty })$ tomamos $x=1$ y la derivada vale $f^{\mathrm{\prime }}(1)=e^{1-1}(1-2)=1(-1)=-1<0$

La función decrece en $(\frac{\sqrt{2}}{2},+\mathrm{\infty })$.

La función es siempre continua y sigue el siguiente esquema:











Del estudio de la monotonía de $f(x)$ deducimos que hay un máximo relativo en $x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ y un mínimo relativo en $x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

$x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow f\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot e^{1-\frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2e}}{2}}\Rightarrow \text{M}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo }({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2e}}{2}})\approx (0.7071,1.1658)$

$x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow f(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot e^{1-\frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2e}}{2}}\Rightarrow \text{M}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2e}}{2}})\approx (-0.7071,-1.1658)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Dom $f(x)$ = $\mathbb{R}$, por tanto no tiene asíntotas verticales.

Asíntota horizontal.





Por lo que la asíntota horizontal es $y=0$.

Asíntota oblicua.

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{x,e^{1-x^2}}{x}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^{1-x^2}=e^{-\mathrm{\infty }}=0$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}\frac{x,e^{1-x^2}}{x}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{e}^{1-x^2}=e^{-\mathrm{\infty }}=0$

Por lo que no tiene asíntota oblicua.

Obtengamos sus puntos de corte con los ejes coordenados.

$x=0\Rightarrow y=0\cdot e^0=0$

$y=0\Rightarrow x,e^{1-x^2}=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ e^{1-x^2}=0\text{sin soluci}\acute{\text{o}}\text{n}\end{array}$

punto corte $(0,0)$.

Y considerando lo obtenido anteriormente (monotonía, máximos, mínimos, asíntotas) la representación es:











La integral de la función, la realizamos con cambio de variable:

$\int f(x)dx=\int x{e}^{1-x^2}dx$$\{\begin{array}{l}t=1-x^2\\ dt=-2xdx\Rightarrow -{\displaystyle \frac{dt}{2}}=xdx\end{array}$=$\int e^t{\displaystyle \frac{dt}{-2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int e^{t}dt=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^t+C=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{1-x^2}+C$

Luego $\int f(x)dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{1-x^2}+C$