Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dadas las rectas

$\text{(I)}\{\begin{array}{l}y=x+3,\\ z=2x+2,\end{array}\text{(II)}\{\begin{array}{l}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\\ x=2z+3,\end{array}$

a) Calcule la ecuación vectorial de cada una de las rectas (I) y (II). [1 punto]

b) Si es posible, calcule el plano paralelo a la recta (II) que contiene a la recta (I). [3 puntos]

c) Calcule el plano perpendicular a la recta (II) que pasa por el punto $(-1,0,2)$. [3 puntos]

d) Calcule la recta de dirección perpendicular a las de las rectas (I) y (II) que pasa por el origen. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{vectorial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{(I)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{(II).}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada recta viene dada por dos ecuaciones que expresan dos de las coordenadas en función de la tercera, de modo que basta tomar esa tercera como parámetro.

Para (I) tomamos $x=t$:

$\text{(I)}:(x,y,z)=(t,t+3,2t+2)=(0,3,2)+t(1,1,2)$

Para (II) tomamos $z=s$:

$\text{(II)}:(x,y,z)=(2s+3,-{\displaystyle \frac{1}{2}},s)=(3,-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)+s(2,0,1)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{(II)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{(I).}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El plano ha de tener las dos direcciones: la de (I), porque la contiene, y la de (II), porque le es paralelo. Su vector normal es el producto vectorial de ambas.

$\vec{n}=(1,1,2)\times (2,0,1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ 2& 0& 1\end{array}\mid =(1,3,-2)$

Pasa por el punto $(0,3,2)$ de la recta (I):

$x+3y-2z+D=0\Rightarrow 0+9-4+D=0\Rightarrow D=-5$

$\pi :x+3y-2z-5=0$

Comprobamos que la recta (II) no está contenida en él, que es lo que distingue el paralelismo de la inclusión. Con su punto $(3,-\frac{1}{2},0)$:

$3-{\displaystyle \frac{3}{2}}-0-5=-{\displaystyle \frac{7}{2}}\mathrm{\ne }0$

Sí es posible: el plano pedido es $\pi :x+3y-2z-5=0$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{(II)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

$\vec{n}=(2,0,1)$

$2(x+1)+0(y-0)+1(z-2)=0$

$2x+2+z-2=0\Rightarrow \sigma :2x+z=0$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{(I)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{(II)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un vector perpendicular a los dos directores es su producto vectorial, que ya calculamos en el apartado b).

$\vec{v}=(1,1,2)\times (2,0,1)=(1,3,-2)$

Con ese vector y el origen:

$r:\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=3\lambda \\ z=-2\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

o, en forma continua, ${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{z}{-2}}$.