Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dadas las rectas

$\text{(I)}\{\begin{array}{l}15x+12y-14z=-17,\\ 8x-y-5z=23,\end{array}\text{(II)}\{\begin{array}{l}9x+5y-2z=5,\\ 24x-2y-13z=67.\end{array}$

a) Calcule un vector posición y un vector director de cada una. [4 puntos]

b) Calcule la ecuación vectorial de cada una. [2 puntos]

c) Calcule el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia, o vector resta, de los dos vectores posición obtenidos. [2 puntos]

d) A partir de ese rango, deduzca la posición relativa de ambas rectas. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{director}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada recta viene dada como intersección de dos planos, así que su director es el producto vectorial de los dos vectores normales.

${\vec{v}}_{\text{I}}=(15,12,-14)\times (8,-1,-5)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 15& 12& -14\\ 8& -1& -5\end{array}\mid =(-74,-37,-111)$

Sacando factor común $-37$, que no cambia la dirección:

${\vec{v}}_{\text{I}}=(2,1,3)$

${\vec{v}}_{\text{II}}=(9,5,-2)\times (24,-2,-13)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 9& 5& -2\\ 24& -2& -13\end{array}\mid =(-69,69,-138)$

Sacando factor común $-69$:

${\vec{v}}_{\text{II}}=(1,-1,2)$

Para los vectores posición damos $z=0$ y resolvemos el sistema que queda en cada caso.

$\{\begin{array}{l}15x+12y=-17\\ 8x-y=23\end{array}\Rightarrow y=8x-23\Rightarrow 15x+96x-276=-17\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7}{3}}$

$P_{\text{I}}({\displaystyle \frac{7}{3}},-{\displaystyle \frac{13}{3}},0)$

$\{\begin{array}{l}9x+5y=5\\ 24x-2y=67\end{array}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5}{2}},y=-{\displaystyle \frac{7}{2}}\Rightarrow P_{\text{II}}({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{7}{2}},0)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{vectorial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con el punto y el director de cada recta:

$\text{(I)}:(x,y,z)=({\displaystyle \frac{7}{3}},-{\displaystyle \frac{13}{3}},0)+t(2,1,3),t\in \mathbb{R}$

$\text{(II)}:(x,y,z)=({\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{7}{2}},0)+s(1,-1,2),s\in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{directores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{diferencia,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{resta,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{vectores}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{obtenidos.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\overrightarrow{P_{\text{I}}{P}_{\text{II}}}=({\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{7}{3}},-{\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{13}{3}},0)=({\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{5}{6}},0)$

Multiplicamos por 6 para trabajar con enteros, lo que no altera el rango:

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& -1& 2\\ 1& 5& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=2(0-10)-1(0-2)+3(5+1)=-20+2+18=0$

El determinante es nulo, así que el rango no llega a 3. Con el menor de las dos primeras filas y columnas:

$\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(M)=2$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{rango,}}\mathbf{\text{deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El rango 2 dice que los tres vectores son coplanarios, es decir, que las dos rectas están en un mismo plano; y ese mismo rango, restringido a los dos directores, dice que estos son linealmente independientes y por tanto las rectas no son paralelas.

$\mathrm{rg}({\vec{v}}_{\text{I}},{\vec{v}}_{\text{II}})=2=\mathrm{rg}({\vec{v}}_{\text{I}},{\vec{v}}_{\text{II}},\overrightarrow{P_{\text{I}}{P}_{\text{II}}})$

Las dos rectas se cortan en un punto.