Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados los planos

$\text{(I) }3x-ay+2z-(a-1)=0,\text{(II) }2x-5y+3z-1=0,\text{(III) }x+3y-(a-1)z=0,$

a) Demuestre que, para cualquier valor del parámetro $a$, no hay ninguna pareja de ellos que sean paralelos. [4 puntos]

b) Estudie su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro $a$. [6 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{ninguna}}\mathbf{\text{pareja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos planos son paralelos o coincidentes cuando sus vectores normales son proporcionales, es decir, cuando su producto vectorial se anula. Basta comprobar que ninguno de los tres productos vectoriales puede ser el vector nulo.

${\vec{n}}_1=(3,-a,2),{\vec{n}}_2=(2,-5,3),{\vec{n}}_3=(1,3,-(a-1))$

${\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=(10-3a,-5,2a-15)$

La segunda componente vale $-5$ sea cual sea $a$, de modo que el producto nunca es nulo: (I) y (II) no son paralelos para ningún valor del parámetro.

${\vec{n}}_2\times {\vec{n}}_3=(5a-14,2a+1,11)$

La tercera componente vale $11$ siempre, así que tampoco se anula: (II) y (III) nunca son paralelos.

${\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_3=(a^2-a-6,3a-1,a+9)$

Aquí las tres componentes dependen de $a$, pero tendrían que anularse a la vez:

$a^2-a-6=0\Rightarrow a=3\text{ o }a=-2;3a-1=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{3}};a+9=0\Rightarrow a=-9$

No hay ningún valor común a las tres condiciones, luego (I) y (III) tampoco son nunca paralelos.

Queda demostrado que, para cualquier valor de $a$, no hay ninguna pareja de planos paralelos: los tres se cortan dos a dos en sendas rectas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los tres planos forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que discutimos con el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -a& 2\\ 2& -5& 3\\ 1& 3& -(a-1)\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -a& 2& a-1\\ 2& -5& 3& 1\\ 1& 3& -(a-1)& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2(a-5)(a-2)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=2\text{ o }a=5$

Si $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }5$:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado y los tres planos se cortan en un único punto.

Si $a=2$, el determinante se anula pero queda el menor

$\mid \begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -5\end{array}\mid =-15+4=-11\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

y al orlarlo con la columna de términos independientes se obtiene también rango 2 en la ampliada:

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: los tres planos se cortan en una recta común, es decir, forman un haz.

Si $a=5$, el rango de la matriz de coeficientes sigue valiendo 2, pero el de la ampliada sube a 3:

$\mathrm{rg}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(A^{\ast })$

El sistema es incompatible: no hay ningún punto común a los tres planos. Como por el apartado a) no hay dos paralelos, los tres se cortan dos a dos en tres rectas paralelas distintas, formando lo que se conoce como una superficie prismática.



En resumen: para $a\mathrm{\ne }2$ y $a\mathrm{\ne }5$ los tres planos se cortan en un punto; para $a=2$ se cortan en una recta común; y para $a=5$ forman una superficie prismática, sin ningún punto en común.