Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere el punto $P=(2,-1,1)$ y la recta $r$ dada por

$r\equiv \begin{array}{r}2x-3y+4z-1=0\\ x+2y-3z-2=0\end{array}\}$

a) Calcule la expresión de la ecuación continua de la recta $r$. [2 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano $\mathrm{\Pi }$, perpendicular a la recta $r$, que pasa por el punto $P$. [2 puntos]

c) Calcule el punto $Q$ de intersección del plano $\mathrm{\Pi }$ con la recta $r$. [3 puntos]

d) De todas las rectas que pasan por el punto $P=(2,-1,1)$, calcule aquella que corta perpendicularmente a la recta $r$. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos normales: el producto vectorial de ambos.

${\vec{v}}_r=(2,-3,4)\times (1,2,-3)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -3& 4\\ 1& 2& -3\end{array}\mid =(1,10,7)$

Para un punto damos, por ejemplo, $z=0$ y resolvemos el sistema que queda:

$\{\begin{array}{l}2x-3y=1\\ x+2y=2\end{array}\Rightarrow x=2-2y\Rightarrow 2(2-2y)-3y=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{3}{7}}$

$x=2-{\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{8}{7}}\Rightarrow P_r({\displaystyle \frac{8}{7}},{\displaystyle \frac{3}{7}},0)$

$r:{\displaystyle \frac{x-\frac{8}{7}}{1}}={\displaystyle \frac{y-\frac{3}{7}}{10}}={\displaystyle \frac{z}{7}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

${\vec{n}}_{\mathrm{\Pi }}=(1,10,7)$

$1(x-2)+10(y+1)+7(z-1)=0$

$x-2+10y+10+7z-7=0\Rightarrow \mathrm{\Pi }:x+10y+7z+1=0$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{Q}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\Pi }\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos la recta en paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=\frac{8}{7}+t\\ y=\frac{3}{7}+10t\\ z=7t\end{array}$

$({\displaystyle \frac{8}{7}}+t)+10({\displaystyle \frac{3}{7}}+10t)+7(7t)+1=0$

${\displaystyle \frac{8}{7}}+{\displaystyle \frac{30}{7}}+1+t+100t+49t=0$

${\displaystyle \frac{45}{7}}+150t=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{3}{70}}$

$Q({\displaystyle \frac{8}{7}}-{\displaystyle \frac{3}{70}},{\displaystyle \frac{3}{7}}-{\displaystyle \frac{30}{70}},-{\displaystyle \frac{21}{70}})=({\displaystyle \frac{11}{10}},0,-{\displaystyle \frac{3}{10}})$





La recta buscada es precisamente la que une $P$ con $Q$: pasa por $P$, corta a $r$ en $Q$ y está contenida en el plano $\mathrm{\Pi }$, que es perpendicular a $r$. Todo eso lo garantiza la construcción de los apartados anteriores.

$\overrightarrow{PQ}=({\displaystyle \frac{11}{10}},0,-{\displaystyle \frac{3}{10}})-(2,-1,1)=(-{\displaystyle \frac{9}{10}},1,-{\displaystyle \frac{13}{10}})$

Multiplicando por 10, que no cambia la dirección:

${\vec{v}}_s=(-9,10,-13)$

Comprobamos la perpendicularidad con el director de $r$:

$(-9,10,-13)\cdot (1,10,7)=-9+100-91=0$

$s:\{\begin{array}{l}x=2-9\lambda \\ y=-1+10\lambda \\ z=1-13\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

La recta pedida es la que pasa por $P(2,-1,1)$ con vector director $(-9,10,-13)$.