Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dada la recta $r$ y el plano $\pi$

$r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y+1}{3}}={\displaystyle \frac{z+2}{-1}},\pi \equiv 3x-my+z=1,$

se pide si existe algún valor del parámetro $m$ para el cual:

a) el plano y la recta son paralelos. [4 puntos]

b) o bien, el plano contiene a la recta. [3 puntos]

c) o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto. [3 puntos]

En cada caso, si existe, calcúlelo.

Empezamos leyendo el vector director de la recta y el normal del plano, porque la posición relativa de ambos depende solo de esos dos vectores.

${\vec{v}}_r=(2,3,-1),{\vec{n}}_{\pi }=(3,-m,1)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=6-3m-1=5-3m$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta es paralela al plano cuando su director es perpendicular al normal, es decir, cuando el producto escalar se anula, y además la recta no está contenida en el plano.

$5-3m=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{5}{3}}$

Comprobamos con el punto $P_r(1,-1,-2)$ de la recta si queda dentro del plano:

$3\cdot 1-{\displaystyle \frac{5}{3}}\cdot (-1)+(-2)=3+{\displaystyle \frac{5}{3}}-2={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{\ne }1$

El punto no pertenece al plano, luego la recta tampoco.

Sí existe: para $m=\frac{5}{3}$ la recta y el plano son paralelos y no tienen ningún punto en común.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{bien,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para que el plano contenga a la recta hacen falta dos condiciones: que el director sea perpendicular al normal, lo que obliga a $m=\frac{5}{3}$, y que algún punto de la recta pertenezca al plano.

$m={\displaystyle \frac{5}{3}}\Rightarrow 3x-{\displaystyle \frac{5}{3}}y+z={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{\ne }1$

La segunda condición falla para el único valor que cumple la primera.

No existe ningún valor de $m$ para el que el plano contenga a la recta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{bien,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta y un plano se cortan en un único punto cuando el director de la recta no es perpendicular al normal del plano.

$5-3m\mathrm{\ne }0\Rightarrow m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{5}{3}}$

El plano y la recta se cortan exactamente en un punto para cualquier valor de $m$ distinto de $\frac{5}{3}$.