Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 4. GEOMETRÍA. (2,5 puntos). Responda uno de estos dos apartados: 4.1. o 4.2.

4.1. Determine el valor que debe tomar $k$ para que los planos

${\pi }_1:kx+y+\frac{1}{4}z+2=0\text{y}{\pi }_2:3x+4y+z+3=0$

sean paralelos. Calcule también el valor de $k$ que hace que esos mismos planos sean perpendiculares.

4.2. Considérense el punto $P(0,1,0)$ y la recta $r:(x,y,z)=(2,0,3)+\lambda (1,2,3),\lambda \in \mathbb{R}$.

4.2.1. Determine la ecuación continua de la recta $s$ que es paralela a $r$ y pasa por el punto $P$.

4.2.2. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$.

El examen permite elegir entre el apartado 4.1 y el 4.2; se resuelven los dos.



Los vectores normales de los dos planos son:

${\vec{n}}_1=(k,1,\frac{1}{4}){\vec{n}}_2=(3,4,1)$

Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales son proporcionales, y son perpendiculares cuando esos vectores lo son, es decir, cuando su producto escalar se anula.



Imponemos primero el paralelismo:

${\displaystyle \frac{k}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}4}{1}}$

Las dos últimas fracciones ya coinciden, ambas valen $\frac{1}{4}$, así que la condición se reduce a la primera igualdad.

${\displaystyle \frac{k}{3}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{3}{4}}$

Con ese valor los planos son paralelos y además distintos, porque los términos independientes no guardan la misma proporción: $\frac{2}{3}\mathrm{\ne }\frac{1}{4}$.

Imponemos ahora la perpendicularidad:

${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=0\Rightarrow 3k+4\cdot 1+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot 1=0$

$3k+{\displaystyle \frac{17}{4}}=0\Rightarrow 3k=-{\displaystyle \frac{17}{4}}\Rightarrow k=-{\displaystyle \frac{17}{12}}$

Los planos son paralelos para $k={\displaystyle \frac{3}{4}}$ y perpendiculares para $k=-{\displaystyle \frac{17}{12}}$.

$\mathbf{\text{4.2.1.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralela}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}$

De la ecuación vectorial de $r$ leemos su punto de paso y su vector director.

$r:(x,y,z)=(2,0,3)+\lambda (1,2,3)\Rightarrow P_r(2,0,3),{\vec{v}}_r=(1,2,3)$

Si $s$ es paralela a $r$ puede tomar el mismo vector director, y como pasa por $P(0,1,0)$:

$s:{\displaystyle \frac{x-0}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{2}}={\displaystyle \frac{z-0}{3}}$

Es decir, $s:{\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{2}}={\displaystyle \frac{z}{3}}$. Se trata de dos rectas paralelas distintas, ya que $P$ no pertenece a $r$: de $0=2+\lambda$ saldría $\lambda =-2$, valor que en la segunda coordenada da $-4\mathrm{\ne }1$.

$\mathbf{\text{4.2.2.}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{general}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta es un vector normal del plano.

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r=(1,2,3)\Rightarrow \pi :x+2y+3z+D=0$

Determinamos $D$ obligando a que $P$ pertenezca al plano.

$P(0,1,0)\in \pi \Rightarrow 0+2\cdot 1+3\cdot 0+D=0\Rightarrow D=-2$

Finalmente, $\pi :x+2y+3z-2=0$.