Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Pregunta 4.1. Sea $E=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$ un espacio muestral y $P$ una medida de probabilidad en $E$ definida por: $P(7)=P(3)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ y con el resto de sucesos elementales equiprobables.

Se consideran los sucesos $A=\{7,11,13,19\}$, $B=\{2,5,7,13,17\}$ y $C=\{3,5,7,11,13\}$. Se pide calcular:

a) (1,25 puntos) $P(\overline{(A-C)}\cap B)$.

b) (1,25 puntos) $P((A\cap B)\mid \bar{C})$.

Antes de nada repartimos la probabilidad entre los ocho sucesos elementales. Dos de ellos valen $\frac{1}{4}$ y suman $\frac{1}{2}$; el otro medio se reparte a partes iguales entre los seis restantes.

$P(3)=P(7)={\displaystyle \frac{1}{4}};P(2)=P(5)=P(11)=P(13)=P(17)=P(19)={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$





Empezamos por la diferencia: $A-C$ son los elementos de $A$ que no están en $C$. Como $7$, $11$ y $13$ también pertenecen a $C$, solo sobrevive el $19$.

$A-C=\{19\}\Rightarrow \overline{(A-C)}=E-\{19\}$

El $19$ no pertenece a $B$, de modo que al intersecar no se pierde ningún elemento y queda el propio $B$.

$\overline{(A-C)}\cap B=B=\{2,5,7,13,17\}$

Sumamos las probabilidades de sus cinco elementos, sin olvidar que el $7$ es uno de los privilegiados.

$P(B)={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$

La probabilidad pedida es $\frac{7}{12}\approx \mathrm{0,583}$.



Determinamos los dos sucesos que intervienen y aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$A\cap B=\{7,13\};\bar{C}=\{2,17,19\}$

$P((A\cap B)\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{P((A\cap B)\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}$

Los dos elementos de $A\cap B$ pertenecen a $C$, así que ninguno puede estar en $\bar{C}$: los sucesos son incompatibles y el numerador se anula.

$(A\cap B)\cap \bar{C}=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow P((A\cap B)\cap \bar{C})=0$

$P(\bar{C})={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\ne }0$

$P((A\cap B)\mid \bar{C})={\displaystyle \frac{0}{1\mathrm{/}4}}=0$

El resultado es coherente: como $A\cap B\subset C$, saber que no ha ocurrido $C$ hace imposible que haya ocurrido $A\cap B$.