Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

B.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función $f(x)=x^3-3x$, se pide:

a) (0.75 puntos) Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
b) (1.75 puntos) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de $f(x)$ y de $g(x)=x(x-3)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{par}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{impar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}$

Para clasificar la simetría sustituimos $x$ por $-x$ y comparamos con la función de partida.

$f(-x)=(-x{)}^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)$

La función es impar, de modo que su gráfica es simétrica respecto del origen. Para la monotonía estudiamos el signo de la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=-1,x=1$

La derivada es una parábola con las ramas hacia arriba, luego es negativa entre las raíces y positiva fuera de ellas.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\text{ en }(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty });f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\text{ en }(-1,1)$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y decrece en $(-1,1)$.



Los extremos de integración son las abscisas donde se cortan las dos curvas, así que igualamos.

$x^3-3x=x^2-3x\Rightarrow x^3-x^2=0\Rightarrow x^2(x-1)=0$

$x=0\text{ (doble)},x=1$

Solo hay una región acotada, la comprendida entre esas dos abscisas. Para saber qué curva va por encima evaluamos en un punto interior.

$x={\displaystyle \frac{1}{2}}:g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{5}{4}}>-{\displaystyle \frac{11}{8}}=f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$



Integramos la diferencia entre la de arriba y la de abajo y aplicamos la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_0^1(g(x)-f(x))dx={\int }_0^1(x^2-x^3)dx$

$={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$

El área de la región acotada es $\frac{1}{12}\approx \mathrm{0,083}$ unidades de superficie.