Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

7. Estadística y Probabilidad:
El 57% de los estudiantes matriculados en la Universidad de Cambridge son naturales del Reino Unido y, de entre todos esos, el 83% aprueban con honores. Además, el porcentaje global de aprobados con honores es del 80%. Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no haya nacido en el Reino Unido sabiendo que aprobó con honores.

$\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{57\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{matriculados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Universidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Cambridge}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{naturales}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Reino}}\mathbf{\text{Unido}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{esos,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{83\%}}\mathbf{\text{aprueban}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{honores.}}\mathbf{\text{Adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{global}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aprobados}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{honores}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{80\%.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{nacido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Reino}}\mathbf{\text{Unido}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aprob}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{honores.}}$

Nombramos los sucesos y recogemos los datos:

$R\equiv \text{el estudiante es natural del Reino Unido}\Rightarrow P(R)=\mathrm{0,57}$

$H\equiv \text{el estudiante aprueba con honores}\Rightarrow P(H)=\mathrm{0,80}$

$P(H\mid R)=\mathrm{0,83}$



Se pregunta por la causa conocido el resultado, así que aplicamos el teorema de Bayes. Necesitamos la probabilidad de la rama que combina no haber nacido en el Reino Unido con aprobar con honores, y la obtenemos por diferencia, ya que $R$ y $\bar{R}$ forman un sistema completo.

$P(R\cap H)=P(R)\cdot P(H\mid R)=\mathrm{0,57}\cdot \mathrm{0,83}=\mathrm{0,4731}$

$P(H)=P(R\cap H)+P(\bar{R}\cap H)\Rightarrow P(\bar{R}\cap H)=\mathrm{0,80}-\mathrm{0,4731}=\mathrm{0,3269}$

$P(\bar{R}\mid H)={\displaystyle \frac{P(\bar{R}\cap H)}{P(H)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3269}}{\mathrm{0,80}}}=\mathrm{0,4086}$

La probabilidad de que un estudiante que aprobó con honores no haya nacido en el Reino Unido es de 0,4086, algo más del 40 %.