Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

7. Estadística y Probabilidad:

a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule $P(A)$ sabiendo que $P(B)=2P(A)$, $P(A\cap B)=0.1$ y $P(A\cup B)=0.8$.
b) Diga si los sucesos $A$ y $B$ son o no independientes, si se sabe que
$P(A)=0.6,P(B)=0.3\text{y}P(\bar{A}\cup \bar{B})=\mathrm{0.82.}$

Partimos de la fórmula de la probabilidad de la unión, que relaciona todos los datos.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,8}=P(A)+P(B)-\mathrm{0,1}\Rightarrow P(A)+P(B)=\mathrm{0,9}$

Sustituimos ahora la relación entre ambas probabilidades:

$P(A)+2P(A)=\mathrm{0,9}\Rightarrow 3P(A)=\mathrm{0,9}\Rightarrow P(A)=\mathrm{0,3}$

La probabilidad pedida es $P(A)=\mathrm{0,3}$, y en consecuencia $P(B)=\mathrm{0,6}$.



Dos sucesos son independientes si y solo si la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades, así que necesitamos $P(A\cap B)$. La obtenemos del tercer dato aplicando las leyes de De Morgan.

$\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}\Rightarrow P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,82}=1-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,18}$

Comparamos con el producto de las probabilidades:

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,18}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,18}=P(A)\cdot P(B)$

Los dos valores coinciden, luego los sucesos $A$ y $B$ sí son independientes.