Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

B.4. Calificación máxima: 2,5 puntos.

Tenemos dos dados no trucados de seis caras, uno azul y uno rojo. Las caras están numeradas del 1 al 6. En un determinado juego, lanzamos los dos dados. Para calcular la puntuación obtenida, se sigue el siguiente procedimiento: si el número obtenido en el dado azul es par, se le suma el doble del número obtenido en el dado rojo; si el número obtenido en el dado azul es impar, se le suma el número obtenido en el dado rojo. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 10. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación impar.
b) (1,5 puntos) Calcular la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul sabiendo que la puntuación final ha sido 8. Calcular la probabilidad de haber obtenido un número impar en el dado rojo sabiendo que la puntuación final ha sido un número par.

Los dos dados no están trucados, así que los 36 resultados posibles son equiprobables y podemos aplicar la regla de Laplace contando sobre la tabla de doble entrada de las puntuaciones.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impar.}}$

Recorremos la tabla buscando el 10. Aparece cuatro veces: tres en las filas de azul par, donde la puntuación es $a+2r$, y una en las de azul impar, donde es $a+r$.

$(a,r)\in \{(2,4),(4,3),(6,2),(5,5)\}\Rightarrow P(S=10)={\displaystyle \frac{4}{36}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$

Para la paridad no hace falta contar caso por caso. Si el dado azul es par, la puntuación $a+2r$ es par siempre, así que solo las filas impares pueden dar resultado impar, y en ellas $a+r$ es impar cuando el dado rojo es par.

$P(S\text{ impar})={\displaystyle \frac{3\cdot 3}{36}}={\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{azul}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{8.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{impar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{rojo}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par.}}$

Las dos son probabilidades condicionadas, y al ser equiprobables los 36 resultados basta contar casillas dentro del suceso condicionante. Buscamos primero los ochos en la tabla.

$S=8:(2,3),(4,2),(6,1),(3,5),(5,3)$

De esas cinco casillas, las tres primeras tienen par el dado azul.

$P(\text{azul par}\mid S=8)={\displaystyle \frac{3}{5}}$

Para la segunda, el suceso condicionante son todas las puntuaciones pares: las 18 casillas de las tres filas de azul par, más las 9 de azul impar con rojo impar.

$P(S\text{ par})={\displaystyle \frac{18+9}{36}}={\displaystyle \frac{27}{36}}$

De esas 27 casillas, el dado rojo es impar en 9 de las de azul par y en las 9 de azul impar.

$P(\text{rojo impar}\mid S\text{ par})={\displaystyle \frac{9+9}{27}}={\displaystyle \frac{18}{27}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$