Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sabiendo que $P(A)=0.5,P(A\mid B)=0.625yP(A\cup B)=0.65$, se pide calcular:

a) (1.5 puntos) $P(B)$ y $P(A\cap B)$.
b) (1 punto) $P(A\mid A\cup B)yP(A\cap B\mathrm{\mid }\bar{A}\cup B)$.

De la definición de probabilidad condicionada dejamos la intersección en función de $P(B)$, que es la incógnita.

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,625}P(B)$

Llevamos esa expresión a la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Rightarrow \mathrm{0,65}=\mathrm{0,5}+P(B)-\mathrm{0,625}P(B)$

$\mathrm{0,15}=\mathrm{0,375}P(B)\Rightarrow P(B)=\mathrm{0,4}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,625}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,25}$





En los dos casos el suceso que condiciona contiene al que se pregunta, así que la intersección del numerador se simplifica.

$A\subset A\cup B\Rightarrow P(A\mid A\cup B)={\displaystyle \frac{P(A)}{P(A\cup B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{0,65}}}={\displaystyle \frac{10}{13}}$

$A\cap B\subset A\cup B\Rightarrow P(A\cap B\mid A\cup B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A\cup B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}}{\mathrm{0,65}}}={\displaystyle \frac{5}{13}}$

Sabiendo que ha ocurrido al menos uno de los dos sucesos, la probabilidad de que haya ocurrido $A$ es $\frac{10}{13}\approx \mathrm{0,769}$ y la de que hayan ocurrido los dos, $\frac{5}{13}\approx \mathrm{0,385}$.