Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

A. 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Según el Instituto Nacional de Estadística, durante el último trimestre de 2020, el porcentaje de mujeres que pertenecía al conjunto de Consejos de Administración de las empresas que componen el Ibex-35 fue del 27.7 %. Se reunieron 10 de estos consejeros.

a) (0.75 puntos) Halle la probabilidad de que la mitad fueran mujeres.
b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que hubiese al menos un hombre.
c) (1 punto) Determine, aproximando mediante una distribución normal, la probabilidad de que en un congreso de consejos de administradores con 200 asistentes hubiera como mínimo un 35 % de representación femenina.

Llamamos $X$ al número de mujeres entre los 10 consejeros reunidos. Cada uno es una prueba independiente con la misma probabilidad de ser mujer, así que sigue una binomial.

$X\sim B(10;\mathrm{0,277})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{fueran}}\mathbf{\text{mujeres.}}$

La mitad de 10 son 5, así que aplicamos directamente la función de probabilidad de la binomial.

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{5}\right){\mathrm{0,277}}^5{\mathrm{0,723}}^5$

$=252\cdot \mathrm{0,0016318}\cdot \mathrm{0,197554}=\mathrm{0,0812}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hubiese}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{hombre.}}$

El suceso contrario es que los diez fueran mujeres, que se calcula con un solo producto.

$P(\text{al menos un hombre})=1-P(X=10)=1-{\mathrm{0,277}}^{10}$

$=1-\mathrm{0,0000027}=\mathrm{0,999997}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Determine,}}\mathbf{\text{aproximando}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{congreso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{doscientos}}\mathbf{\text{consejeros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{femenina.}}$

Un 35 % de 200 son 70 consejeras. Calculamos la media y la desviación típica de la binomial correspondiente.

$X\sim B(200;\mathrm{0,277})\Rightarrow \mu =np=\mathrm{55,4};\sigma =\sqrt{npq}=\sqrt{200\cdot \mathrm{0,277}\cdot \mathrm{0,723}}=\mathrm{6,33}$

Como $np$ y $nq$ superan holgadamente 5, la aproximamos por una normal y aplicamos la corrección de continuidad.

$X^{\mathrm{\prime }}\sim N(\mathrm{55,4};\mathrm{6,33})$

$P(X\ge 70)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}\ge \mathrm{69,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{69,5}-\mathrm{55,4}}{\mathrm{6,33}}})=P(Z\ge \mathrm{2,23})$

$P(Z\ge \mathrm{2,23})=1-\mathrm{0,9871}=\mathrm{0,0129}$



Solo un $\mathrm{1,29}\mathrm{\%}$ de las veces se llegaría a esa representación femenina.