Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

B. 4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si el sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene 2 blancos, 2 negros y 5 con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un pañuelo de otro cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 4 negros y 4 con cuadros blancos y negros. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero.
b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro.
c) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros.

Nombramos los sucesos por la primera letra: $B$ y $N$ para el color del sombrero, y $b$, $n$ y $c$ para el del pañuelo. La cesta tiene 9 sombreros y cada cajón un contenido distinto, así que las probabilidades del pañuelo dependen del sombrero que haya salido.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{uelo}}\mathbf{\text{aparezca}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sombrero.}}$

De las seis ramas del árbol solo dos incumplen la condición: sombrero blanco con pañuelo blanco y sombrero negro con pañuelo negro. En todas las demás el pañuelo aporta un color distinto, también en las de cuadros. Vamos, pues, al suceso contrario.

$P(Bb)={\displaystyle \frac{6}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{4}{27}};P(Nn)={\displaystyle \frac{3}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$

$P=1-({\displaystyle \frac{4}{27}}+{\displaystyle \frac{2}{15}})=1-{\displaystyle \frac{38}{135}}={\displaystyle \frac{97}{135}}$

La probabilidad es $\frac{97}{135}\approx \mathrm{0,7185}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{complementos}}\mathbf{\text{(sombrero}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{pa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{uelo)}}\mathbf{\text{aparezca}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{negro.}}$

El único caso en que no aparece el negro por ninguna parte es sombrero blanco y pañuelo blanco, porque los de cuadros llevan negro.

$P=1-P(Bb)=1-{\displaystyle \frac{4}{27}}={\displaystyle \frac{23}{27}}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sombrero}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{negro,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{uelo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cuadros.}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes con las dos ramas que acaban en pañuelo de cuadros.

$P(N\mid c)={\displaystyle \frac{P(N)P(c\mid N)}{P(B)P(c\mid B)+P(N)P(c\mid N)}}$

$={\displaystyle \frac{\frac{3}{9}\cdot \frac{4}{10}}{\frac{6}{9}\cdot \frac{5}{9}+\frac{3}{9}\cdot \frac{4}{10}}}={\displaystyle \frac{\frac{2}{15}}{\frac{10}{27}+\frac{2}{15}}}$

$={\displaystyle \frac{18\mathrm{/}135}{68\mathrm{/}135}}={\displaystyle \frac{9}{34}}$

Sabiendo que el pañuelo es de cuadros, la probabilidad de que el sombrero fuera negro es $\frac{9}{34}\approx \mathrm{0,265}$.