Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En una urna hay dos bolas blancas y cuatro bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si la bola extraída es blanca, se devuelve a la urna y se añade otra bola blanca; si es negra, no se devuelve a la urna. A continuación, se vuelve a extraer una bola al azar de la urna.

a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color?
b) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída fuera negra, sabiendo que la segunda ha sido blanca?

Llamamos $B_1$ y $N_1$ a sacar bola blanca o negra en la primera extracción, y $B_2$ y $N_2$ a lo mismo en la segunda. La urna de partida tiene 2 blancas y 4 negras.

Lo que cambia el problema es que la urna no vuelve a su estado inicial: si sale blanca se devuelve y se añade otra blanca, con lo que quedan 3 blancas y 4 negras; si sale negra no se devuelve, y quedan 2 blancas y 3 negras.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{color?}}$

Que salgan de distinto color ocurre por dos caminos incompatibles del árbol: primera blanca y segunda negra, o al revés.

$P(\text{distinto color})=P(B_1)P(N_2\mid B_1)+P(N_1)P(B_2\mid N_1)$

$={\displaystyle \frac{2}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{7}}+{\displaystyle \frac{4}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{21}}+{\displaystyle \frac{4}{15}}$

Reducimos a común denominador para sumar.

$={\displaystyle \frac{20}{105}}+{\displaystyle \frac{28}{105}}={\displaystyle \frac{48}{105}}={\displaystyle \frac{16}{35}}$

La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color es $\frac{16}{35}\approx \mathrm{0,4571}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{negra,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{blanca?}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que aplicamos el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad total de sacar blanca en la segunda extracción.

$P(N_1\mid B_2)={\displaystyle \frac{P(N_1)P(B_2\mid N_1)}{P(B_1)P(B_2\mid B_1)+P(N_1)P(B_2\mid N_1)}}$

$={\displaystyle \frac{\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{2}{6}\cdot \frac{3}{7}+\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}}}={\displaystyle \frac{\frac{4}{15}}{\frac{1}{7}+\frac{4}{15}}}$

$={\displaystyle \frac{28\mathrm{/}105}{15\mathrm{/}105+28\mathrm{/}105}}={\displaystyle \frac{28}{43}}$

Si la segunda bola ha sido blanca, la probabilidad de que la primera fuera negra es $\frac{28}{43}\approx \mathrm{0,6512}$.