Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

A.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Un arquero aficionado dispone de 4 flechas y dispara a un globo colocado en el centro de una diana. La probabilidad de alcanzar el blanco en el primer tiro es del 30%. En los lanzamientos sucesivos la puntería se va afinando, de manera que en el segundo es del 40%, en el tercero del 50% y en el cuarto del 60%. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el globo haya explotado sin necesidad de hacer el cuarto disparo.
b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que el globo siga intacto tras el cuarto disparo.
c) (1 punto) En una exhibición participan diez arqueros profesionales, que aciertan un 85% de sus lanzamientos. Calcular la probabilidad de que entre los 10 hayan explotado exactamente 6 globos al primer disparo.

Llamamos $A_j$ a acertar en el disparo $j$ y $F_j$ a fallarlo. La puntería mejora tiro a tiro, así que cada rama del árbol tiene su propia probabilidad.

$P(A_1)=\mathrm{0,3};P(A_2)=\mathrm{0,4};P(A_3)=\mathrm{0,5};P(A_4)=\mathrm{0,6}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{globo}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{explotado}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{necesidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{disparo.}}$

El globo explota antes del cuarto disparo si acierta en el primero, o falla el primero y acierta el segundo, o falla los dos primeros y acierta el tercero. Son tres caminos incompatibles del árbol.

$P=P(A_1)+P(F_1\cap A_2)+P(F_1\cap F_2\cap A_3)$

$=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,28}+\mathrm{0,21}$

$P=\mathrm{0,79}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{globo}}\mathbf{\text{siga}}\mathbf{\text{intacto}}\mathbf{\text{tras}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{disparo.}}$

Ahora hay un solo camino: fallar los cuatro tiros.

$P(F_1\cap F_2\cap F_3\cap F_4)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}$

$=\mathrm{0,084}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{arqueros}}\mathbf{\text{profesionales}}\mathbf{\text{hayan}}\mathbf{\text{explotado}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{globos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{disparo.}}$

Cada arquero es una prueba independiente con la misma probabilidad de acierto, así que el número $X$ de globos explotados sigue una binomial.

$X\sim B(10;\mathrm{0,85})$

$P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{6}\right){\mathrm{0,85}}^6{\mathrm{0,15}}^4=210\cdot \mathrm{0,377150}\cdot \mathrm{0,00050625}$

$P(X=6)=\mathrm{0,0401}$

Solo un $4\mathrm{\%}$ de las veces fallarían tantos: con un $85\mathrm{\%}$ de acierto lo esperable son ocho o nueve globos.