Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

B.4. Calificación máxima: 2.5 puntos.

En un experimento aleatorio hay dos sucesos independientes $X$, $Y$. Sabemos que $P(X)=0.4$ y que $P(X\cap \bar{Y})=0.08$ (donde $\bar{Y}$ es el suceso complementario de $Y$). Se pide:

a) (1 punto) Calcular $P(Y)$.
b) (0.5 puntos) Calcular $P(X\cup Y)$.
c) (1 punto) Si $X$ es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un éxito cuando NO sucede $X$, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenido éxito al menos 2 veces.

Si $X$ e $Y$ son independientes, también lo son $X$ y el contrario de $Y$, de modo que la probabilidad de la intersección es el producto.

$P(X\cap \bar{Y})=P(X)P(\bar{Y})\Rightarrow \mathrm{0,08}=\mathrm{0,4}P(\bar{Y})$

$P(\bar{Y})=\mathrm{0,2}\Rightarrow P(Y)=1-\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8}$





Aplicamos la fórmula de la unión, con la intersección calculada de nuevo por independencia.

$P(X\cap Y)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,32}$

$P(X\cup Y)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,8}-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,88}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{tenido}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{xito}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{repeticiones.}}$

Un éxito es que no ocurra $X$, así que su probabilidad es la complementaria. Las ocho repeticiones son independientes y con la misma probabilidad, luego el número $Z$ de éxitos sigue una binomial.

$p=1-P(X)=\mathrm{0,6}\Rightarrow Z\sim B(8;\mathrm{0,6})$

«Al menos dos» tiene muchos casos favorables, así que vamos al suceso contrario: ninguno o exactamente uno.

$P(Z\ge 2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)$

$=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{0}\right){\mathrm{0,4}}^8-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)\mathrm{0,6}\cdot {\mathrm{0,4}}^7$

$=1-\mathrm{0,000655}-\mathrm{0,007864}$

$P(Z\ge 2)=\mathrm{0,9915}$