Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Problema 7.

Una bolsa contiene dos monedas que llamamos $M_1$ y $M_2$. La moneda $M_1$ es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda $M_1$ es de 0.6. La moneda $M_2$ tiene una cara impresa en ambos lados.

a) Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces. 1. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? (3 puntos) 2. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz? (3 puntos)
b) Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda $M_1$. Responder a la misma pregunta para la moneda $M_2$. (4 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escogemos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bolsa,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lanzamos,}}\mathbf{\text{anotamos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{devolvemos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bolsa.}}\mathbf{\text{Repetimos}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{veces.}}$

Planteamos un diagrama de árbol:











$\begin{array}{c}P(M_1)=\frac{1}{2}P(C\mathrm{\mid }{M}_1)=0.6P(X\mathrm{\mid }{M}_1)=0.4P(M_2)=\frac{1}{2}P(C\mathrm{\mid }{M}_2)=0.4P(X\mathrm{\mid }{M}_2)=0.6\end{array}$

Probabilidad de obtener cara ($C$)

$P(C)=P(M_1\cap C)+P(M_2\cap C)=P(M_1)P(C\mathrm{\mid }{M}_1)+P(M_2)P(C\mathrm{\mid }{M}_2)=\frac{1}{2}\cdot 0.6+\frac{1}{2}\cdot 0.4=0.8$

Este experimento solo tiene dos resultados posibles (Cara o Cruz) y se efectúa 3 veces, se trata como una distribución binomial $B(3,0.8)$





$\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{caras?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right){0.8}^3{0.2}^0=0.5120$

$\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{haber}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cruz?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Obtener una cruz, es obtener dos caras:

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{2}\right){0.8}^2{0.2}^1=3\cdot 0.64\cdot 0.2=0.3840$



Atención: el experimento cambia ahora:










$\begin{array}{c}P(M_1)=\frac{1}{2},P(C\mathrm{\mid }{M}_1)=0.6,P(X\mathrm{\mid }{M}_1)=0.4P(M_2)=\frac{1}{2},P(C\mathrm{\mid }{M}_2)=0.6,P(X\mathrm{\mid }{M}_2)=0.4\end{array}$

Probabilidad condicionada: $P(M_1\mathrm{\mid }C\cap C)=\frac{P(M_1\cap C\cap C)}{P(C\cap C)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 0.6\cdot 0.6}{\frac{1}{2}\cdot 0.6\cdot 0.6+\frac{1}{2}}=\frac{9}{34}$

$P(M_2\mathrm{\mid }C\cap C)=\frac{P(M_2\cap C\cap C)}{P(C\cap C)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1}{\frac{1}{2}\cdot 0.6\cdot 0.6+\frac{1}{2}}=\frac{25}{34}$