Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Problema 7.

Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10.25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4 puntos)
b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? (3 puntos)
c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)

$\text{Sean los sucesos: }A=\text{1ª M}\acute{\text{a}}\text{quina},B=\text{2ª M}\acute{\text{a}}\text{quina},C=\text{3ª M}\acute{\text{a}}\text{quina},D=\text{Defectuosa}$

Planteamos el diagrama en árbol:



$\begin{array}{c}P(A)=0.3P(B)=0.25P(C)=xP(D\mathrm{\mid }A)=0.1P(D\mathrm{\mid }B)=0.05P(D\mathrm{\mid }C)=y\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{fabricada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$\text{Sabemos que }P(A)+P(B)+P(C)=1\Rightarrow x=P(C)=0.45$

$\text{Por otro lado, sabemos que el},$ $10.25$ % $\text{de todas las latas son defectuosas. Por tanto:}$

$P(D)=P(A)\cdot P(D\mathrm{\mid }A)+P(B)\cdot P(D\mathrm{\mid }B)+P(C)\cdot P(D\mathrm{\mid }C)=0.1025$

$0.3\cdot 0.1+0.25\cdot 0.05+0.45\cdot y=0.1025\Rightarrow y=P(D\mathrm{\mid }C)=\frac{2}{15}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{escoge}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(A\mathrm{\mid }\bar{D})=\frac{P(A\cap \bar{D})}{P(\bar{D})}=\frac{P(A)\cdot P(\bar{D}\mathrm{\mid }A)}{1-P(D)}=\frac{0.3\cdot 0.9}{1-0.1025}=0.3008$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{escoge}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{fabricada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\bar{B}\mathrm{\mid }D)=\frac{P(\bar{B}\cap D)}{P(D)}=\frac{P(A\cap D)+P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{0.3\cdot 0.1+0.45\cdot 2\mathrm{/}15}{0.1025}=\frac{36}{41}$