Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{x-2}}$.

a) Estudie si tiene puntos críticos y, en caso de que tenga, justifique de qué tipo son. Determine también cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,5 puntos]
b) Compruebe que la ecuación $f(x)=0$ tiene una única solución en el intervalo $(-2,1)$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tenga,}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{son.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Antes de derivar conviene fijar el dominio, porque la función es racional.

$x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}-\{2\}$

Derivamos con la regla del cociente y factorizamos el resultado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3x^2(x-2)-x^3\cdot 1}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{3x^3-6x^2-x^3}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^3-6x^2}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x^2(x-3)}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x^2(x-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0(\text{doble})\\ x=3\end{array}$

Hay, pues, dos puntos críticos. Para clasificarlos estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$: el denominador está elevado al cuadrado y $2x^2\ge 0$, así que el signo lo decide únicamente el factor $x-3$.

$x<3(x\mathrm{\ne }0,x\mathrm{\ne }2)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es decreciente}$

$x>3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$



En $x=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, porque el factor $x^2$ es siempre positivo: la función decrece antes y después. No es, por tanto, un extremo relativo, sino un punto de tangente horizontal (un punto de inflexión con tangente horizontal).

En $x=3$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo.

$f(3)={\displaystyle \frac{3^3}{3-2}}={\displaystyle \frac{27}{1}}=27\Rightarrow (3,27)$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$, $(0,2)$ y $(2,3)$, y crece en $(3,+\mathrm{\infty })$; tiene un mínimo relativo en $(3,27)$ y en $x=0$ solo una tangente horizontal, sin extremo.



El intervalo $[-2,1]$ está contenido en el dominio, porque el único punto excluido, $x=2$, queda fuera. La función es, por tanto, continua en $[-2,1]$, y podemos aplicar el teorema de Bolzano.

$f(-2)={\displaystyle \frac{(-2{)}^3}{-2-2}}={\displaystyle \frac{-8}{-4}}=2>0$

$f(1)={\displaystyle \frac{1^3}{1-2}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1<0$

Como los signos son distintos, existe al menos un $c\in (-2,1)$ con $f(c)=0$.

Para ver que la solución es única usamos el apartado anterior: en $(-2,1)$ la derivada es negativa salvo en el punto aislado $x=0$, donde se anula sin cambiar de signo, de modo que $f$ es estrictamente decreciente en todo el intervalo y no puede tomar el valor 0 más de una vez.

De hecho la solución se puede identificar: una fracción es nula solo si lo es su numerador.

$f(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{x^3}{x-2}}=0\Rightarrow x^3=0\Rightarrow x=0$

La ecuación $f(x)=0$ tiene una única solución en $(-2,1)$, que es $x=0$.