Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{9}{x^2+x-2}}$.

a) Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. [1,25 puntos]
b) Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x=4$. Represente en un mismo gráfico la función $f(x)$ y la recta tangente. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El dominio de una función racional lo dan los ceros del denominador, así que empezamos factorizándolo.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$x^2+x-2=(x+2)(x-1)\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}-\{-2,1\}$

Las dos abscisas excluidas son las candidatas a asíntota vertical, y lo son porque el numerador no se anula en ellas.

${\lim }_{x\to -2}{\displaystyle \frac{9}{(x+2)(x-1)}}={\displaystyle \frac{9}{0}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-2\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical.}$

${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{9}{(x+2)(x-1)}}={\displaystyle \frac{9}{0}}=\mathrm{\infty }\Rightarrow x=1\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical.}$

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{9}{x^2+x-2}}={\displaystyle \frac{9}{\mathrm{\infty }}}=0\Rightarrow y=0\text{ es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal.}$

Al haber asíntota horizontal no puede haber asíntota oblicua.

Para los extremos y la monotonía derivamos, escribiendo la función como una potencia para aplicar la regla de la cadena.

$f(x)=9{(x^2+x-2)}^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-9{(x^2+x-2)}^{-2}(2x+1)={\displaystyle \frac{-9(2x+1)}{{(x^2+x-2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -9(2x+1)=0\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El denominador está elevado al cuadrado, así que es positivo en todo el dominio y el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el de $-9(2x+1)$.

$x<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\Rightarrow f\text{ es creciente}$

$x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)<0\Rightarrow f\text{ es decreciente}$

Hay que respetar el dominio al escribir los intervalos, porque en $x=-2$ y en $x=1$ la función no existe.

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{9}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}}={\displaystyle \frac{9}{-\frac{9}{4}}}=-4$

El dominio es $\mathbb{R}-\{-2,1\}$, con asíntotas verticales $x=-2$ y $x=1$ y asíntota horizontal $y=0$. La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },-2)$ y en $(-2,-\frac{1}{2})$, decreciente en $(-\frac{1}{2},1)$ y en $(1,+\mathrm{\infty })$, y tiene un máximo relativo en $(-\frac{1}{2},-4)$.



Evaluamos la función y la derivada en $x=4$ y aplicamos la ecuación punto-pendiente.

$f(4)={\displaystyle \frac{9}{16+4-2}}={\displaystyle \frac{9}{18}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(4)={\displaystyle \frac{-9(2\cdot 4+1)}{{(16+4-2)}^2}}={\displaystyle \frac{-81}{324}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-4)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}+1+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

La ecuación general se obtiene pasando todo al primer miembro y quitando denominadores.

${\displaystyle \frac{x}{4}}+y-{\displaystyle \frac{3}{2}}=0\Rightarrow x+4y-6=0$

Con el dominio, las asíntotas, la monotonía y el máximo del apartado a) ya se puede dibujar la curva, y sobre ella la recta tangente en el punto $(4,\frac{1}{2})$.



La recta tangente en el punto de abscisa $x=4$ es $x+4y-6=0$, y toca a la curva en el punto $(4,\frac{1}{2})$ de la rama derecha.