Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Ejercicio B3
Sea $f(x)=x^3+A{x}^2+Bx+C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f(0)=2$, las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x=1$ y $x=3$ sean paralelas y $f$ tenga un extremo relativo en el punto $x=-1$. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

$\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

El enunciado da tres condiciones, y cada una proporciona una ecuación. Calculamos primero la derivada.

$f(x)=x^3+A{x}^2+Bx+C\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2Ax+B$

i) El término independiente es el valor de la función en el origen:

$f(0)=C=2$

ii) Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=f^{\mathrm{\prime }}(3)$

$3+2A+B=27+6A+B\Rightarrow 3+2A=27+6A$

$-24=4A\Rightarrow A=-6$

iii) Que exista un extremo relativo en $x=-1$ obliga a que la derivada se anule ahí:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0\Rightarrow 3-2A+B=0$

$3+12+B=0\Rightarrow B=-15$

Los parámetros son $A=-6$, $B=-15$ y $C=2$, con lo que la función es:

$f(x)=x^3-6x^2-15x+2$

$\mathbf{\text{Ese}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{si}}\mathit{f}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{extremo}}\mathbf{\text{relativo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determina}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos.}}$

Factorizamos la derivada para localizar todos los puntos críticos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x-15=3(x^2-4x-5)=3(x-5)(x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=5\end{array}$

Hay, por tanto, otro extremo además del que daba el enunciado. Para decidir el carácter de cada uno usamos el signo de la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-6-12=-18<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(5)=30-12=18>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f(-1)=-1-6+15+2=10$

$f(5)=125-150-75+2=-98$

El extremo relativo de $x=-1$ es un máximo, y la función tiene además un mínimo relativo en $x=5$: los puntos son $(-1,10)$ y $(5,-98)$.