Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Ejercicio A2
Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones paramétricas son:
$r\equiv \{\begin{array}{l}x=t,\\ y=2t,\\ z=0;\end{array}$
y el plano $\pi \equiv x+y+z-2=0$. Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathit{P}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}$

Un punto cualquiera de la recta viene dado por sus ecuaciones paramétricas, de modo que todo el problema se reduce a una ecuación con la incógnita $t$.

$P(t,2t,0)$

Calculamos las dos distancias. La del punto al plano, con la fórmula habitual:

$d(P,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }t+2t+0-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3t-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}$

Y la del punto al origen, que es el módulo del vector que los une:

$d(P,O)=\mid \overrightarrow{OP}\mid =\sqrt{t^2+4t^2+0}=\sqrt{5}\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$

Igualamos ambas. Como los dos miembros son positivos, se pueden elevar al cuadrado sin perder soluciones ni ganar otras espurias:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3t-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}=\sqrt{5}\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }$

${\displaystyle \frac{(3t-2{)}^2}{3}}=5t^2\Rightarrow 9t^2-12t+4=15t^2$

$6t^2+12t-4=0\Rightarrow 3t^2+6t-2=0$

$t={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{36+24}}{6}}={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{60}}{6}}={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{15}}{3}}$

Ninguna de las dos soluciones se descarta: las dos son valores reales del parámetro y, por tanto, corresponden a puntos de la recta. Sustituyendo en las paramétricas:

$P_1({\displaystyle \frac{-3+\sqrt{15}}{3}},{\displaystyle \frac{-6+2\sqrt{15}}{3}},0)$

$P_2({\displaystyle \frac{-3-\sqrt{15}}{3}},{\displaystyle \frac{-6-2\sqrt{15}}{3}},0)$

$\mathbf{\text{¿Es}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto?}}\mathbf{\text{Contesta}}\mathbf{\text{razonadamente.}}$

No lo es. Al elevar al cuadrado se llega a una ecuación de segundo grado cuyo discriminante, $60$, es positivo, de modo que tiene dos raíces reales distintas y ambas son válidas. Geométricamente se entiende bien: la recta pasa por el origen, y al recorrerla en un sentido y en el otro la distancia al origen crece desde cero mientras que la distancia al plano varía de otro modo, con lo que las dos magnitudes llegan a igualarse una vez a cada lado.

Existen, por tanto, dos puntos que cumplen la condición, uno a cada lado del origen sobre la recta.