Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A3
Estudiar los máximos, los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)=5+8x^2-x^4$. Representar la gráfica de $f$.

La función es polinómica, luego está definida y es derivable en todo $\mathbb{R}$. Además solo tiene potencias pares, de modo que es par y su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Derivamos y factorizamos.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=16x-4x^3=-4x(x^2-4)=-4x(x-2)(x+2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{array}$

Estos tres puntos dividen la recta real en cuatro intervalos. Se hace un estudio de signos:

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },-2)& (-2,0)& (0,2)& (2,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& +& -\\ f(x)& \nearrow & \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-3)=-4(-3)(-5)(-1)=60>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-4(-1)(-3)(1)=-12<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(1)=-4(1)(-1)(3)=12>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(3)=-4(3)(1)(5)=-60<0\end{array}$

La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,2)$ y decreciente en $(-2,0)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

Confirmamos el carácter de cada extremo con la segunda derivada:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=16-12x^2$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\pm 2)=16-48=-32<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximos relativos}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=16>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

$f(\pm 2)=5+32-16=21,f(0)=5$

Hay dos máximos relativos, en $(-2,21)$ y $(2,21)$, y un mínimo relativo en $(0,5)$.

$\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}$

Para completar el dibujo calculamos los cortes con el eje de abscisas, haciendo el cambio $u=x^2$:

$-u^2+8u+5=0\Rightarrow u={\displaystyle \frac{-8\pm \sqrt{64+20}}{-2}}=4\pm \sqrt{21}$

Solo la raíz positiva da valores reales de $x$:

$x=\pm \sqrt{4+\sqrt{21}}\approx \pm \mathrm{2,93}$

Con eso, y sabiendo que las dos ramas se van a $-\mathrm{\infty }$ por el coeficiente negativo de $x^4$, la gráfica queda así: