Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B3
Sea
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+Ax,& \text{si }x\le 1,\\ Bx-A,& \text{si }x>1.\end{array}$

(a) Encuentra los valores de $A$ y $B$ para que $f$ sea derivable en toda la recta real.
(b) Haz la representación gráfica de la función $f$ con los valores de $A$ y $B$ obtenidos en el apartado (a).

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{Encuentra}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{f}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{derivable}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{toda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{real.}}$

Cada trozo es un polinomio, luego la función es derivable en todos los puntos salvo, quizá, en $x=1$, que es donde cambia de definición. Allí hay que imponer dos condiciones: primero la continuidad, porque una función derivable es necesariamente continua, y después la igualdad de las derivadas laterales.

i) Continuidad en $x=1$: los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1+A,{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=B-A$

$1+A=B-A\Rightarrow B=1+2A$

ii) Derivabilidad en $x=1$: las derivadas laterales deben coincidir.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2x+A,& x<1\\ B,& x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=2+A,f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=B$

$2+A=B$

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones:

$\{\begin{array}{l}B=1+2A\\ B=2+A\end{array}\Rightarrow 1+2A=2+A\Rightarrow A=1,B=3$

Comprobamos: en $x=1$ el primer trozo vale $1+1=2$ y el segundo $3-1=2$; y las derivadas valen $2+1=3$ y $3$.

Los valores pedidos son $A=1$ y $B=3$, con lo que la función queda:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{Haz}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{obtenidos.}}$

El primer trozo es un arco de la parábola $y=x^2+x$, que corta al eje de abscisas en $x=0$ y $x=-1$ y tiene el vértice en:

$x_V={\displaystyle \frac{-1}{2}}\Rightarrow V(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{4}})$

El segundo es una semirrecta de pendiente $3$. Ambos se empalman en el punto $(1,2)$ y, por la condición de derivabilidad, lo hacen sin formar pico: la recta es justamente la tangente a la parábola en ese punto.