Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

4. Análisis
Calcule las siguientes integrales:

a) ${\displaystyle \int 2x\sqrt{x^2+1}\mathrm{d}x}$.
b) ${\displaystyle \int (\sin x)\sin (\cos x)\mathrm{d}x}$.
c) ${\displaystyle \int x^2\sin x\mathrm{d}x}$.
d) ${\displaystyle \int \frac{1}{(x-1)(x-2)}\mathrm{d}x}$.

El factor $2x$ es la derivada del radicando, lo que sugiere el cambio de variable.

$\{\begin{array}{l}t=x^2+1\\ dt=2xdx\end{array}\Rightarrow \int 2x\sqrt{x^2+1}dx=\int \sqrt{t}dt={\displaystyle \frac{t^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^{3\mathrm{/}2}$

$\int 2x\sqrt{x^2+1}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}{(x^2+1)}^{3\mathrm{/}2}+C$



Ahora el cambio natural es el argumento del seno exterior.

$\{\begin{array}{l}t=\cos x\\ dt=-\sin xdx\Rightarrow \sin xdx=-dt\end{array}$

$\int \sin x\sin (\cos x)dx=-\int \sin tdt=\cos t+C=\cos (\cos x)+C$



Es una integral por partes, y hay que aplicarla dos veces para rebajar el grado del polinomio.

$\{\begin{array}{ll}u=x^2& du=2xdx\\ dv=\sin xdx& v=-\cos x\end{array}\Rightarrow \int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx$

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=\cos xdx& v=\sin x\end{array}\Rightarrow \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x$

$\int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$



Es una integral racional con dos raíces reales simples en el denominador; la descomponemos en fracciones simples.

${\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}\Rightarrow 1=A(x-2)+B(x-1)$

$x=1\Rightarrow 1=-A\Rightarrow A=-1$

$x=2\Rightarrow 1=B\Rightarrow B=1$

$\int {\displaystyle \frac{dx}{(x-1)(x-2)}}=\int {\displaystyle \frac{-1}{x-1}}dx+\int {\displaystyle \frac{1}{x-2}}dx=-\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+C$

$\int {\displaystyle \frac{dx}{(x-1)(x-2)}}=\ln \mid {\displaystyle \frac{x-2}{x-1}}\mid +C$