Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

5. Geometría:
Sean $r$ la recta de vector director ${\vec{d}}_r(1,0,3)$ que pasa por $P(1,0,0)$ y $\pi :-2x+y+z=0$. Se pide la posición relativa de $r$ y $\pi$. En caso de que se corten, hallar el punto de corte.

De los datos leemos los elementos de cada figura.

$P(1,0,0),{\vec{d}}_r=(1,0,3){\vec{n}}_{\pi }=(-2,1,1)$

La posición relativa la decide el producto escalar del vector normal del plano por el director de la recta.

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{d}}_r=(-2)\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 3=-2+3=1\mathrm{\ne }0$

Al no anularse, la recta no es paralela al plano: lo corta en un punto. Escribimos las paramétricas de la recta y las sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=0\\ z=3t\end{array}t\in \mathbb{R}$

$-2(1+t)+0+3t=0\Rightarrow -2-2t+3t=0\Rightarrow t=2$

$t=2\Rightarrow (1+2,0,3\cdot 2)=(3,0,6)$



La recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes, y se cortan en el punto $(3,0,6)$. Obsérvese que $P$ no pertenece al plano, pues $-2\cdot 1+0+0=-2\mathrm{\ne }0$.