Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

5. Geometría:

a) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ con ecuaciones paramétricas $\pi :\{\begin{array}{l}x=1-\lambda ,\\ y=2+\mu ,\\ z=1+\lambda +2\mu ,\end{array}\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.
b) Calcule el valor de $m$ para que los siguientes puntos sean coplanarios: $A(0,m,0)$, $B(0,2,2)$, $C(1,4,3)$ y $D(2,0,2)$. Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que los contiene.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{impl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{param}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricas}}\mathbf{\text{dadas.}}$

De las paramétricas leemos el punto de paso y los dos vectores directores, que son los que acompañan a cada parámetro.

$\pi :\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=2+\mu \\ z=1+\lambda +2\mu \end{array}\Rightarrow P(1,2,1),\vec{u}=(-1,0,1),\vec{v}=(0,1,2)$

El vector normal es el producto vectorial de los dos directores.

${\vec{n}}_{\pi }=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\mid =(0-1,0+2,-1-0)=(-1,2,-1)$

$\pi :-x+2y-z+D=0$

$P(1,2,1)\in \pi \Rightarrow -1+4-1+D=0\Rightarrow D=-2$

Finalmente, $\pi :-x+2y-z-2=0$, o cambiando el signo, $\pi :x-2y+z+2=0$.



Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su determinante se anula.

$\overrightarrow{AB}=(0,2-m,2)\overrightarrow{AC}=(1,4-m,3)\overrightarrow{AD}=(2,-m,2)$

$\mid \begin{array}{ccc}0& 2-m& 2\\ 1& 4-m& 3\\ 2& -m& 2\end{array}\mid =-2m-8$

$-2m-8=0\Rightarrow m=-4$

Con ese valor, $A(0,-4,0)$, y los vectores quedan $\overrightarrow{AB}=(0,6,2)$ y $\overrightarrow{AC}=(1,8,3)$. El vector normal del plano es su producto vectorial.

${\vec{n}}_{\pi }=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 6& 2\\ 1& 8& 3\end{array}\mid =(18-16,2-0,0-6)=(2,2,-6)$

Podemos simplificar dividiendo entre 2, lo que no cambia el plano: ${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-3)$.

$\pi :x+y-3z+D=0$

$A(0,-4,0)\in \pi \Rightarrow 0-4-0+D=0\Rightarrow D=4$

Finalmente, $\pi :x+y-3z+4=0$. Se comprueba con los otros tres puntos: $B$ da $0+2-6+4=0$, $C$ da $1+4-9+4=0$ y $D$ da $2+0-6+4=0$.