Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

6. Geometría:

a) Calcule $k$ sabiendo que los vectores $\vec{u}(2,0,0)$, $\vec{v}(0,k,1)$ y $\vec{w}(2,2,2)$ son coplanarios.
b) Obtenga la ecuación implícita del plano $\pi$ que pasa por $P(1,0,0)$ y contiene a $r:x-1={\displaystyle \frac{y}{-4}}={\displaystyle \frac{z+1}{3}}$.

Tres vectores son coplanarios cuando son linealmente dependientes, es decir, cuando el determinante que forman se anula.

$\mid \begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& k& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\mid =2\cdot \mid \begin{array}{cc}k& 1\\ 2& 2\end{array}\mid =2(2k-2)=4k-4$

$4k-4=0\Rightarrow k=1$

Los tres vectores son coplanarios únicamente para $k=1$. Se comprueba: con ese valor, $\vec{w}=\vec{u}+2\vec{v}$, pues $(2,0,0)+2(0,1,1)=(2,2,2)$.



De la ecuación continua de la recta leemos su punto de paso y su vector director.

$P_r(1,0,-1){\vec{v}}_r=(1,-4,3)$

El plano contiene la recta y pasa por $P$, así que dos direcciones suyas son el director de la recta y el vector que une $P_r$ con $P$.

$\overrightarrow{P_{r}P}=(1,0,0)-(1,0,-1)=(0,0,1)$

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{P_{r}P}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -4& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =(-4-0,0-1,0-0)=(-4,-1,0)$

$\pi :-4x-y+0\cdot z+D=0$

$P(1,0,0)\in \pi \Rightarrow -4-0+D=0\Rightarrow D=4$

Cambiando el signo de toda la ecuación, que no altera el plano:

$\pi :4x+y-4=0$

Se comprueba con el punto de la recta, $P_r(1,0,-1)$: $4+0-4=0$.