Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

4. Análisis:

a) Calcule el área de la región encerrada por el eje $X$ y la gráfica de $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x+1& \text{si }x<0,\\ (x-1{)}^2& \text{si }x\ge 0.\end{array}$
b) Calcule ${\displaystyle \int x\sqrt{x^2-1}dx}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{encerrada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{X}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathit{f}\mathbf{\text{.}}$

Buscamos los puntos en que la gráfica toca al eje $X$, que son los que cierran la región.

En la rama de la izquierda, válida para $x<0$:

${\displaystyle \frac{1}{3}}x+1=0\Rightarrow x=-3$

En la rama de la derecha, válida para $x\ge 0$:

$(x-1{)}^2=0\Rightarrow x=1$

Entre $-3$ y 1 la gráfica está por encima del eje: la recta es positiva a la derecha de $-3$ y el cuadrado nunca es negativo. En $x=0$ ambas ramas valen 1, así que la función es continua y la región queda cerrada.



El área es la integral de la función, partida en los dos tramos.

$A={\int }_{-3}^0({\displaystyle \frac{1}{3}}x+1)dx+{\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx$

${\int }_{-3}^0({\displaystyle \frac{x}{3}}+1)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{6}}+x]}_{-3}^0=0-({\displaystyle \frac{9}{6}}-3)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

${\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{(x-1{)}^3}{3}}\right]}_0^1=0-(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{1}{3}}$

$A={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{9+2}{6}}={\displaystyle \frac{11}{6}}$

El área de la región encerrada es ${\displaystyle \frac{11}{6}}\approx \mathrm{1,83}{\text{u}}^2$.



El factor $x$ es, salvo la constante 2, la derivada del radicando, lo que sugiere el cambio de variable.

$\{\begin{array}{l}t=x^2-1\\ dt=2xdx\Rightarrow xdx={\displaystyle \frac{dt}{2}}\end{array}$

$\int x\sqrt{x^2-1}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int \sqrt{t}dt={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{t^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^{3\mathrm{/}2}$

Deshaciendo el cambio:

$\int x\sqrt{x^2-1}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}{(x^2-1)}^{3\mathrm{/}2}+C$