Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

4. Análisis:

a) Calcule los valores de $b$ y $c$ para que la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{2x}& \text{si }x\le 0,\\ x^2+bx+c& \text{si }x>0\end{array}$ sea, primero continua, y luego derivable en $x=0$.
b) Calcule ${\displaystyle {\int }_1^{2}x(\ln x-1)dx}$.

Las dos ramas son continuas y derivables en su tramo, así que el único punto dudoso es el empalme. Empezamos por la continuidad.

$f(0)=e^{2\cdot 0}=e^0=1{\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^{2x}=1$

${\lim }_{x\to 0^{+}}(x^2+bx+c)=c$

$c=1$

Con ese valor la función es continua en $x=0$ cualquiera que sea $b$. Añadimos ahora la igualdad de las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{2x}& \text{si }x<0\\ 2x+b& \text{si }x>0\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})=2e^0=2f^{\mathrm{\prime }}(0^{+})=b$

$b=2$

La función es continua en $x=0$ para $c=1$ y cualquier $b$, y es derivable únicamente para $b=2$ y $c=1$.



Separamos la integral en dos sumandos; el primero es inmediato y el segundo se resuelve por partes.

${\int }_1^{2}x(\ln x-1)dx={\int }_1^{2}x\ln xdx-{\int }_1^{2}xdx$

$\int x\ln xdx\{\begin{array}{ll}u=\ln x& du={\displaystyle \frac{dx}{x}}\\ dv=xdx& v={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\end{array}$

$\int x\ln xdx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-\int {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}$

Reunimos las dos primitivas y aplicamos la regla de Barrow.

${\int }_1^{2}x(\ln x-1)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\ln x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_1^2$

$=(2\ln 2-1-2)-(0-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2\ln 2-3+{\displaystyle \frac{3}{4}}$

${\int }_1^{2}x(\ln x-1)dx=2\ln 2-{\displaystyle \frac{9}{4}}\approx -\mathrm{0,8637}$

El resultado es negativo porque en todo el intervalo $[1,2]$ se cumple $\ln x<1$ y el integrando es negativo.