Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

4. Análisis:

a) Enuncie el teorema de Rolle.
b) Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de $f(x)=x+6$ y $g(x)=\{\begin{array}{ll}-2x& \text{si }x<0,\\ x^2& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Enuncie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Rolle.}}$

Teorema de Rolle: si una función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, derivable en el abierto $(a,b)$ y toma el mismo valor en los extremos, $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un punto $c\in (a,b)$ tal que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Geométricamente significa que hay al menos un punto interior del intervalo en el que la recta tangente a la gráfica es horizontal. Es el caso particular del teorema del valor medio en que la cuerda que une los extremos es paralela al eje $x$.



Localizamos primero los puntos de corte, teniendo en cuenta que $g$ cambia de expresión en $x=0$.

Con la rama $g(x)=-2x$, válida para $x<0$:

$x+6=-2x\Rightarrow 3x=-6\Rightarrow x=-2$

que sí cumple $x<0$.

Con la rama $g(x)=x^2$, válida para $x\ge 0$:

$x+6=x^2\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ x=-2\end{array}$

Se descarta $x=-2$ por no pertenecer al tramo, luego queda $x=3$.



Entre $-2$ y 3 la recta queda por encima de $g$: basta comprobarlo en un punto interior, por ejemplo en $x=0$, donde la recta vale 6 y $g$ vale 0. El área se obtiene integrando la diferencia, partida en los dos tramos de $g$.

$A={\int }_{-2}^0[(x+6)-(-2x)]dx+{\int }_0^3[(x+6)-x^2]dx$

${\int }_{-2}^0(3x+6)dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}+6x]}_{-2}^0=0-(6-12)=6$

${\int }_0^3(x+6-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+6x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^3={\displaystyle \frac{9}{2}}+18-9={\displaystyle \frac{27}{2}}$

$A=6+{\displaystyle \frac{27}{2}}={\displaystyle \frac{12+27}{2}}={\displaystyle \frac{39}{2}}$

El área de la región encerrada es ${\displaystyle \frac{39}{2}}=\mathrm{19,5}{\text{u}}^2$.