Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

4. Análisis:
Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-x-1& \text{si }x\le 0,\\ -x^2-x-1& \text{si }x>0,\end{array}$ calcule el área de la región encerrada por la gráfica de $f$ y las rectas $y=4x-7$ e $y=1$.

Localizamos primero los tres vértices del recinto, que son los cortes de cada par de curvas.

Corte de $f$ con $y=1$. En la rama de la izquierda:

$x^2-x-1=1\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}$

Solo vale $x=-1$, porque esa rama está definida para $x\le 0$. En la rama de la derecha, $-x^2-x-1=1$ lleva a $x^2+x+2=0$, cuyo discriminante es negativo y no tiene solución real.

Corte de $f$ con $y=4x-7$. En la rama de la derecha:

$-x^2-x-1=4x-7\Rightarrow x^2+5x-6=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-6\end{array}$

Solo vale $x=1$, por ser esa rama la de $x>0$. En la rama de la izquierda saldrían $x=2$ y $x=3$, ambos descartados por el mismo motivo.

Corte de las dos rectas: $4x-7=1\Rightarrow x=2$.

Los vértices son, por tanto, $(-1,1)$, $(1,-3)$ y $(2,1)$.



El recinto queda por debajo de la recta $y=1$ y por encima de la gráfica de $f$ entre $-1$ y 1, y por encima de la recta $y=4x-7$ entre 1 y 2. Hay que partir la integral en tres tramos, porque además $f$ cambia de expresión en $x=0$.

$A={\int }_{-1}^0[1-(x^2-x-1)]dx+{\int }_0^1[1-(-x^2-x-1)]dx+{\int }_1^2[1-(4x-7)]dx$

Calculamos cada sumando por la regla de Barrow.

${\int }_{-1}^0(2+x-x^2)dx={[2x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^0=0-(-2+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{7}{6}}$

${\int }_0^1(2+x+x^2)dx={[2x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1=2+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{17}{6}}$

${\int }_1^2(8-4x)dx={[8x-2x^2]}_1^2=(16-8)-(8-2)=2$

$A={\displaystyle \frac{7}{6}}+{\displaystyle \frac{17}{6}}+2={\displaystyle \frac{24}{6}}+2=4+2=6$

El área de la región encerrada es de 6 unidades cuadradas.