Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)={\displaystyle \frac{2-x^2}{x^2-4}}$.

a) Estudie las asíntotas, monotonía y puntos extremos de la función $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

Asíntotas verticales. En los dos puntos excluidos el numerador vale $-2\mathrm{\ne }0$, luego los dos lo son:

${\lim }_{x\to -2^{-}}{\displaystyle \frac{2-x^2}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to -2^{+}}{\displaystyle \frac{2-x^2}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{2-x^2}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{2-x^2}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-2}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }$

Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2-x^2}{x^2-4}}=-1\Rightarrow y=-1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haberla, no hay asíntota oblicua.

Monotonía. Derivamos por la regla del cociente y simplificamos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-2x(x^2-4)-(2-x^2)2x}{{(x^2-4)}^2}}={\displaystyle \frac{-2x^3+8x-4x+2x^3}{{(x^2-4)}^2}}={\displaystyle \frac{4x}{{(x^2-4)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, luego el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de $4x$: negativo a la izquierda del origen y positivo a la derecha.

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)$ y crece en $(0,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$. Como pasa de decreciente a creciente en $x=0$, ahí hay un mínimo relativo:

$f(0)={\displaystyle \frac{2}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$



Añadimos los cortes con el eje de abscisas, que se obtienen anulando el numerador:

$2-x^2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\Rightarrow (-\sqrt{2},0)\text{ y }(\sqrt{2},0)$



Las dos ramas exteriores se acercan a la asíntota $y=-1$ por debajo, y la rama central baja desde $+\mathrm{\infty }$ hasta el mínimo y vuelve a subir, cortando el eje en los dos puntos anteriores.