Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x)=\mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$:

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función. [1 punto]

b) Calcule el intervalo donde la función permanece constante. [1 punto]

Los valores absolutos cambian de expresión donde se anula lo que hay dentro, es decir, en $x=-1$ y en $x=2$. Escribimos la función a trozos con esos dos puntos.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x+1)-(x-2)=-2x+1& \text{si }x<-1\\ (x+1)-(x-2)=3& \text{si }-1\le x<2\\ (x+1)+(x-2)=2x-1& \text{si }x\ge 2\end{array}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cada trozo es un polinomio, luego la función es continua y derivable en todos los puntos salvo, quizá, en $x=-1$ y $x=2$, que estudiamos aparte.

Continuidad en $x=-1$:

${\lim }_{x\to -1^{-}}(-2x+1)=3{\lim }_{x\to -1^{+}}3=3=f(-1)$

Continuidad en $x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}3=3{\lim }_{x\to 2^{+}}(2x-1)=3=f(2)$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$. Estudiamos ahora las derivadas laterales:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-2& \text{si }x<-1\\ 0& \text{si }-1<x<2\\ 2& \text{si }x>2\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1^{-})=-2\mathrm{\ne }0=f^{\mathrm{\prime }}(-1^{+})f^{\mathrm{\prime }}\left(2^{-}\right)=0\mathrm{\ne }2=f^{\mathrm{\prime }}\left(2^{+}\right)$

Las derivadas laterales no coinciden en ninguno de los dos puntos, así que la función es derivable en $\mathbb{R}-\{-1,2\}$. Gráficamente son dos puntos angulosos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{permanece}}\mathbf{\text{constante.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Del estudio a trozos se lee directamente: la función vale $3$ en todo el tramo central, y ahí su derivada es nula.



La función es constante, de valor $3$, en el intervalo $[-1,2]$.