Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Se sabe que la gráfica de la función $f$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+2}{x-1}}$ (para $x\mathrm{\ne }1$) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(1,1)$ y tiene pendiente 2. Calcule $a$ y $b$. [2,5 puntos]

Los dos datos del enunciado determinan por completo la asíntota, así que empezamos escribiéndola. Con pendiente $2$ y pasando por $(1,1)$:

$y=2x+n;1=2\cdot 1+n\Rightarrow n=-1$

$y=2x-1$

Calculamos ahora la asíntota oblicua de $f$ en función de los parámetros y la identificamos con esa recta. La pendiente es:

$m={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+2}{x^2-x}}=a}$

$a=2$

Con ese valor calculamos la ordenada en el origen de la asíntota:

$n={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\displaystyle \frac{2x^2+bx+2}{x-1}}-2x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+bx+2-2x^2+2x}{x-1}}}$

$={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(b+2)x+2}{x-1}}=b+2}$

Igualamos a la ordenada de la recta dada:

$b+2=-1\Rightarrow b=-3$

Comprobamos el resultado efectuando la división con esos valores:

${\displaystyle \frac{2x^2-3x+2}{x-1}}=2x-1+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$

El resto tiende a cero en el infinito, luego la asíntota oblicua es efectivamente $y=2x-1$, que pasa por $(1,1)$ y tiene pendiente $2$.

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=-3$.