Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Estudie asíntotas, monotonía (crecimiento y decrecimiento), extremos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x)=e^{-x^2}$. [2 puntos]

La función es una exponencial cuyo exponente es un polinomio, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él tantas veces como haga falta.

Asíntotas. No hay verticales, porque la función es continua en todo $\mathbb{R}$. Para las horizontales:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}=e^{-\mathrm{\infty }}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en las dos ramas, no hay asíntota oblicua.

Monotonía. Derivamos aplicando la regla de la cadena:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{e}^{-x^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x{e}^{-x^2}=0\Rightarrow x=0$

La exponencial es siempre positiva, luego el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de $-2x$:

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=2e^{-1}>0f^{\mathrm{\prime }}(1)=-2e^{-1}<0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y decrece en $(0,+\mathrm{\infty })$. Como pasa de creciente a decreciente en $x=0$, ahí hay un máximo relativo, que además es absoluto:

$f(0)=e^0=1\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo en }(0,1)$

Curvatura. Derivamos otra vez, con la regla del producto:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}=e^{-x^2}(4x^2-2)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x^2-2=0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=2e^{-1}>0f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-2<0f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=2e^{-1}>0$

La derivada segunda cambia de signo en los dos valores, luego los dos son puntos de inflexión:

$f(\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=e^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{0,6065}$

En resumen: la función tiene la asíntota horizontal $y=0$, crece hasta $x=0$ y decrece a partir de ahí, alcanza un máximo absoluto en $(0,1)$ y tiene puntos de inflexión en $(-\frac{\sqrt{2}}{2},e^{-1\mathrm{/}2})$ y $(\frac{\sqrt{2}}{2},e^{-1\mathrm{/}2})$.