Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{4x+4}{x^2}}$.

a) Estudie sus asíntotas, monotonía y extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Represéntela gráficamente. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas,}}\mathbf{\text{monoton}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{0\}$

Asíntotas verticales. La única candidata es el punto que queda fuera del dominio:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{4x+4}{x^2}}={\displaystyle \frac{4}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

El denominador es un cuadrado, luego es positivo por los dos lados y la rama sube a $+\mathrm{\infty }$ tanto por la izquierda como por la derecha.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador es menor que el del denominador:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4x+4}{x^2}}=0\Rightarrow y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

Monotonía. Derivamos aplicando la regla del cociente y simplificamos:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x^2-(4x+4)\cdot 2x}{x^4}}={\displaystyle \frac{-4x^2-8x}{x^4}}={\displaystyle \frac{-4(x+2)}{x^3}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$

Estudiamos el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ en los tres intervalos que determinan $x=-2$ y el punto $x=0$ excluido del dominio:

$f^{\mathrm{\prime }}(-3)={\displaystyle \frac{-4(-1)}{-27}}<0f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{-4(1)}{-1}}=4>0f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-4(3)}{1}}=-12<0$

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)$, crece en $(-2,0)$ y decrece en $(0,+\mathrm{\infty })$. Como pasa de decreciente a creciente en $x=-2$, ahí hay un mínimo relativo:

$f(-2)={\displaystyle \frac{-8+4}{4}}=-1\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo en }(-2,-1)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Repres}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntela}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Además de lo anterior necesitamos el corte con el eje de abscisas, que es el único que hay porque $x=0$ no pertenece al dominio:

$f(x)=0\Rightarrow 4x+4=0\Rightarrow x=-1\Rightarrow (-1,0)$



Las dos asíntotas son los propios ejes de coordenadas: la rama de la derecha baja desde $+\mathrm{\infty }$ hasta pegarse al eje de abscisas, y la de la izquierda sube desde el mínimo $(-2,-1)$, corta el eje en $(-1,0)$ y se dispara a $+\mathrm{\infty }$.