Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Ejercicio B3
Sea $f(x)=x^4+A{x}^2+Bx+C$. Obtener los valores de $A$, $B$ y $C$ para que en el punto de abscisa $x=0$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea $y=2x-1$ y en el punto de abscisa $x=1$ la recta tangente a la gráfica de $f$ sea horizontal. El extremo situado en el punto de abscisa $x=1$, ¿es máximo o mínimo?

$\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

Que una recta sea tangente a la gráfica en un punto da dos informaciones: la función y la recta valen lo mismo en esa abscisa, y la derivada coincide con la pendiente. Calculamos primero la derivada.

$f(x)=x^4+A{x}^2+Bx+C\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+2Ax+B$

i) La recta tangente en $x=0$ es $y=2x-1$. Igualando ordenadas:

$f(0)=C=-1$

Igualando pendientes:

$f^{\mathrm{\prime }}(0)=B=2$

ii) La recta tangente en $x=1$ es horizontal, es decir, de pendiente nula:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow 4+2A+B=0$

$4+2A+2=0\Rightarrow A=-3$

Los parámetros son $A=-3$, $B=2$ y $C=-1$, con lo que la función es:

$f(x)=x^4-3x^2+2x-1$



Lo decidimos con el signo de la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-6x+2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-6$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=12-6=6>0$

Al ser positiva, la función es cóncava hacia arriba en ese punto.

En $x=1$ hay un mínimo relativo, de valor $f(1)=1-3+2-1=-1$.