Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Ejercicio A3
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-4}{x^2-4}}$ y calcular sus máximos y sus mínimos.

El denominador se anula en dos puntos, que quedan fuera del dominio:

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

Derivamos por la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x^2-4)-(x-4)\cdot 2x}{{(x^2-4)}^2}}$

$={\displaystyle \frac{x^2-4-2x^2+8x}{{(x^2-4)}^2}}={\displaystyle \frac{-x^2+8x-4}{{(x^2-4)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo lo decide el numerador. Lo anulamos:

$x^2-8x+4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-16}}{2}}={\displaystyle \frac{8\pm 4\sqrt{3}}{2}}=4\pm 2\sqrt{3}$

$4-2\sqrt{3}\approx \mathrm{0,54},4+2\sqrt{3}\approx \mathrm{7,46}$

Estos dos puntos, junto con los dos que quedan fuera del dominio, dividen la recta real en cinco intervalos. Se hace un estudio de signos:

$\begin{array}{cccccc}& (-\mathrm{\infty },-2)& (-2,4-2\sqrt{3})& (4-2\sqrt{3},2)& (2,4+2\sqrt{3})& (4+2\sqrt{3},+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& -& +& +& -\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}(-3)=-\frac{37}{25}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-\frac{13}{9}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(0)=-\frac{4}{16}=-\frac{1}{4}<0\text{ (pues }0<4-2\sqrt{3}\text{ no se cumple)}\\ f^{\mathrm{\prime }}(3)=\frac{11}{25}>0\\ f^{\mathrm{\prime }}(7)=\frac{1}{675}>0\end{array}$

La función es creciente en $(4-2\sqrt{3},2)\cup (2,4+2\sqrt{3})$ y decreciente en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,4-2\sqrt{3})\cup (4+2\sqrt{3},+\mathrm{\infty })$.

En $x=4-2\sqrt{3}$ la derivada pasa de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo; en $x=4+2\sqrt{3}$ pasa de positiva a negativa, luego hay un máximo relativo. Calculamos sus ordenadas:

$f(4-2\sqrt{3})={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\approx \mathrm{0,93}$

$f(4+2\sqrt{3})={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\approx \mathrm{0,07}$

Hay un mínimo relativo en $x=4-2\sqrt{3}$ y un máximo relativo en $x=4+2\sqrt{3}$. No debe extrañar que el valor del mínimo supere al del máximo: están en ramas distintas, separadas por la asíntota vertical $x=2$, y son extremos relativos, no absolutos.