Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2020

Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(1,3,-2)$, $B(4,3,1)$ y $C(1,0,1)$, como podemos observar en la siguiente representación:



a) Calcule el cuarto vértice $D$. [1 punto]

b) Calcule el área del paralelogramo. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cuarto}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{D}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En un paralelogramo los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud, así que los vectores que los representan son iguales. Como $A$, $B$ y $C$ son vértices consecutivos, el lado $\overline{AD}$ es opuesto a $\overline{BC}$.

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC}=(1,0,1)-(4,3,1)=(-3,-3,0)$

$D=A+\overrightarrow{BC}=(1,3,-2)+(-3,-3,0)=(-2,0,-2)$

Comprobamos que el otro par de lados también cumple la condición:

$\overrightarrow{AB}=(4,3,1)-(1,3,-2)=(3,0,3)\overrightarrow{DC}=(1,0,1)-(-2,0,-2)=(3,0,3)$

El cuarto vértice es $D(-2,0,-2)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{paralelogramo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área del paralelogramo construido sobre dos vectores es el módulo de su producto vectorial. Tomamos los dos lados que salen del vértice $B$, o equivalentemente $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& 0& 3\\ -3& -3& 0\end{array}\mid =(0+9)\vec{i}-(0+9)\vec{j}+(-9-0)\vec{k}=(9,-9,-9)$

$S=\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC}\mid =\sqrt{81+81+81}=\sqrt{243}=9\sqrt{3}{\text{u}}^2$

El área del paralelogramo es de $9\sqrt{3}\approx \mathrm{15,5885}$ unidades de área.