Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2021 (convocatoria ordinaria)

Dado el sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=5,\\ 5x+ay-z=11,\\ 3x-y+az=2.\end{array}$

a) Discuta para qué valores de $a$ el sistema tiene solución y cuántas tiene en cada caso. [6 puntos]

b) Encuentre la solución del sistema para $a=2$. [4 puntos]

Un ayuntamiento concede licencias para la construcción de una urbanización de, como máximo, 120 viviendas, de dos tipos, A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100000 euros y el de tipo B de 300000 euros. El beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A es de 20000 euros y por la venta de una de tipo B es de 40000 euros.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de viviendas de cada tipo que se han de construir para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

Considere las matrices siguientes:

$M=\left(\begin{array}{ccc}k& 1& 0\\ 2& -1& 3k\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ k& -1\\ -2& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Razone si es posible calcular los productos $M\cdot N$ y $M^2$. En el caso de que lo sea, calcúlelos. [2 puntos]

b) Estudie para qué valores de $k$ es $M\cdot N$ invertible. [3 puntos]

c) Calcule la inversa de $M\cdot N$ para $k=1$. [2 puntos]

d) Para $k=1$, encuentre la matriz $X$ que cumple $(M\cdot N)\cdot X=B$, donde $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. [3 puntos]

Dada la función $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+x$, definida para todo $x\in \mathbb{R}$.

a) Encuentre $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un punto crítico en el punto $x=1$ y su gráfica pasa por el punto $(3,0)$. [5 puntos]

b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ para $a=3$ y $b=3$. [5 puntos]

El beneficio $B(x)$, en euros, que obtiene una empresa por la venta de $x$ unidades de un determinado producto se representa por la función:

$B(x)=-x^2+300x-16100\text{para }x\ge 0.$

a) Calcule el beneficio de vender 110 unidades. [1 punto]

b) Represente gráficamente la función. [3 puntos]

c) ¿Cuántas unidades ha de vender para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo? [3 puntos]

d) ¿Cuántas unidades ha de vender para tener un beneficio igual a 3900 euros? ¿Y para tener un beneficio superior a 3900 euros? [3 puntos]

Consideremos la función a trozos siguiente

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x+2& \text{si }x<0,\\ e^{ax}+1& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f$ sea continua y derivable. [5 puntos]

b) Para $a=4$ calcule el área comprendida entre la gráfica de $f(x)$ y las rectas $x=1$, $x=2$ e $y=0$. [5 puntos]

El peso de las personas de un colegio mayor sigue una ley normal de media 70 kg y desviación típica 15 kg. Si escogemos al azar una persona del colegio, calcule la probabilidad de los sucesos siguientes:

a) Que su peso sea superior a 80 kg. [3 puntos]

b) Que su peso sea inferior a 50 kg. [3 puntos]

c) Que pese entre 60 y 120 kg. [4 puntos]

De dos sucesos de un mismo espacio muestral se sabe que

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1},P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,6},P(A\mid B)=\mathrm{0,5},$

donde $\bar{A}$ y $\bar{B}$ denotan los sucesos complementarios de $A$ y $B$ respectivamente.

a) Calcule $P(B)$. [3 puntos]

b) Calcule $P(A\cup B)$. [3 puntos]

c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Razone la respuesta. [4 puntos]