Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2023 (convocatoria extraordinaria)

Queremos medir el consumo de un coche eléctrico que tiene una batería de 50 kWh y que tiene un consumo diferente si lo conducimos por autopista, por ciudad o por carretera de montaña. Hicimos tres salidas, cada una empezando con la batería completamente cargada, y pudimos recorrer las siguientes distancias hasta acabar la batería:

— Primer día: 180 km por autopista y 60 km por ciudad.

— Segundo día: 200 km por ciudad y 80 km por carretera de montaña.

— Tercer día: 150 km por autopista y 80 km por carretera de montaña.

a) Calcule el consumo del coche para cada uno de los tipos de carreteras. [7 puntos]

b) Si únicamente lo utilizamos para conducir por ciudad, ¿cuál sería la cantidad total de km que podríamos recorrer con una carga completa de la batería? [3 puntos]

Un camión necesita transportar una carga de exactamente 12 metros cúbicos de volumen, y de exactamente 18 toneladas de peso. Puede transportar:

— Arena, que pesa 1,6 toneladas por metro cúbico.

— Grava, que pesa 1,8 toneladas por metro cúbico.

— Ceniza, que pesa 0,5 toneladas por metro cúbico.

a) Si queremos llenar el camión solo con arena y ceniza, calcule qué cantidad de cada material nos permite alcanzar simultáneamente la máxima capacidad de volumen y la máxima capacidad de peso. [5 puntos]

b) Si queremos llenar el camión solo con arena y grava, no podemos alcanzar simultáneamente la máxima capacidad de volumen y la máxima capacidad de peso. Justifique por qué no. [5 puntos]

En una pastelería quieren promocionar sus productos con dos ofertas:

— Oferta A: 2 ensaimadas, 2 cocas de patata, 4 barras de chocolate, a 4 €.

— Oferta B: 6 ensaimadas, 3 cocas de patata, 3 barras de chocolate, a 8 €.

Disponen de 120 ensaimadas, 60 cocas de patata y 72 barras de chocolate. Suponiendo que todas las ofertas se venderán completamente, nos interesa calcular cuántas ofertas A y cuántas ofertas B tendrían que ofrecer para maximizar el beneficio.

a) Plantee la maximización de este beneficio como un problema de programación lineal con dos variables. [3 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [5 puntos]

c) ¿Cuántas ofertas A y cuántas ofertas B tendrían que ofrecer para maximizar el beneficio? ¿Cuál sería el beneficio en este caso? [2 puntos]

La temperatura de un objeto, $t$ (en grados centígrados), cambia a medida que pasa el tiempo, $s$ (en segundos), según el modelo siguiente:

$t(s)=45\cdot e^{-\mathrm{0,08}s}+25=45\cdot {\mathrm{0,923}}^s+25,\text{para }s\ge 0.$

(Le proporcionamos dos expresiones algebraicas válidas y equivalentes, puede utilizar la que prefiera.)

a) Haga una gráfica esquemática de la función $t(s)$. Calcule o justifique, e indique sobre la gráfica: el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales y globales. [7 puntos]

b) ¿A qué tenderá la temperatura del objeto cuando haya pasado mucho tiempo? [3 puntos]

Una maleta rectangular tiene tres medidas (anchura, altura y profundidad), y su volumen es el producto de las tres medidas. Queremos diseñar una maleta rectangular de 30 cm de profundidad, y tal que la suma de la anchura, la altura y la profundidad sea exactamente 110 cm. ¿Cuál es el volumen máximo que puede tener esta maleta? [10 puntos]

Tiramos dos dados no trucados. Considere los sucesos siguientes:

$A$: en el primer dado ha salido un 1.

$B$: en el segundo dado ha salido un 1.

$C$: la suma de los valores de los dos dados es 3.

a) Calcule $P(A)$. [3 puntos]

b) Calcule $P(A\cup B)$. [3 puntos]

c) ¿Son $C$ y $A\cup B$ sucesos independientes? [4 puntos]

En una población:

— las alturas de los hombres siguen una distribución normal de media 1,76 metros y desviación típica 0,12 metros; y

— las alturas de las mujeres siguen una distribución normal de media 1,62 metros y desviación típica 0,11 metros.

Se pide:

a) Escogemos un hombre al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor o igual que 1,76 metros? [3 puntos]

b) Escogemos una mujer al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que su altura sea mayor o igual que 1,76 metros? [4 puntos]

c) ¿Qué es más probable: que un hombre tenga una altura inferior a 1,76 metros, o que una mujer tenga una altura inferior a 1,76 metros? [3 puntos]

Tiramos una moneda al aire 100 veces, y han salido 46 veces cara y 54 veces cruz. Un estudiante cree que la moneda no está trucada y propone aproximar el número de caras que salen en 100 tiradas como una variable aleatoria con distribución normal $N(\mu =50,\sigma =5)$.

a) Según la distribución propuesta, ¿cuál habría sido la probabilidad de obtener 60 caras o más? [3 puntos]

b) Calcule el intervalo de confianza que contenga el 90 % de los valores más probables que aparecen en la distribución propuesta. ¿Es razonable la hipótesis de que la moneda no está trucada? [4 puntos]

Ahora tiraremos otra moneda al aire 100 veces, y el número de caras que obtendremos también seguirá una distribución normal $N(\mu =50,\sigma =5)$. Sospecharemos que la moneda está trucada si el número de caras no está contenido en el intervalo calculado en el apartado anterior.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que sospechemos que la moneda está trucada? [3 puntos]