Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una pastelería quieren promocionar sus productos con dos ofertas:

— Oferta A: 2 ensaimadas, 2 cocas de patata, 4 barras de chocolate, a 4 €.

— Oferta B: 6 ensaimadas, 3 cocas de patata, 3 barras de chocolate, a 8 €.

Disponen de 120 ensaimadas, 60 cocas de patata y 72 barras de chocolate. Suponiendo que todas las ofertas se venderán completamente, nos interesa calcular cuántas ofertas A y cuántas ofertas B tendrían que ofrecer para maximizar el beneficio.

a) Plantee la maximización de este beneficio como un problema de programación lineal con dos variables. [3 puntos]

b) Dibuje la región factible, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [5 puntos]

c) ¿Cuántas ofertas A y cuántas ofertas B tendrían que ofrecer para maximizar el beneficio? ¿Cuál sería el beneficio en este caso? [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{variables.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de ofertas A e $y$ al número de ofertas B.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado.

$$	$\text{Ensaimadas}$	$\text{Cocas}$	$\text{Chocolate}$	$\text{Precio (€)}$ $\text{Oferta A }(x)$	$2x$	$2x$	$4x$	$4x$ $\text{Oferta B }(y)$	$6y$	$3y$	$3y$	$8y$ $\text{Totales}$	$2x+6y$	$2x+3y$	$4x+3y$	$4x+8y$ $\text{Disponible}$	120	60	72	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarlo.

$B(x,y)=4x+8y$

Las restricciones salen de las existencias de cada producto.

Hay 120 ensaimadas $\Rightarrow$ $2x+6y\le 120$, que dividiendo entre 2 queda $x+3y\le 60$.

Hay 60 cocas de patata $\Rightarrow$ $2x+3y\le 60$.

Hay 72 barras de chocolate $\Rightarrow$ $4x+3y\le 72$.

El número de ofertas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

$\text{Maximizar }B(x,y)=4x+8y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+3y\le 60\\ 2x+3y\le 60\\ 4x+3y\le 72\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dibujamos las tres rectas con una tabla de valores de cada una.

$x+3y=60$	$2x+3y=60$	$4x+3y=72$ $(0,20)$	$(0,20)$	$(0,24)$ $(60,0)$	$(30,0)$	$(18,0)$

Las dos primeras rectas se cortan sobre el eje de ordenadas, en el punto $(0,20)$, y la de las ensaimadas queda por encima de la de las cocas en todo el primer cuadrante: la restricción $x+3y\le 60$ no llega a delimitar el recinto. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\ x=0\end{array}\Rightarrow 3y=60\Rightarrow y=20\Rightarrow A(0,20)$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}2x+3y=60\\ 4x+3y=72\end{array}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(4x+3y)-(2x+3y)=72-60\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$

$2\cdot 6+3y=60\Rightarrow 3y=48\Rightarrow y=16\Rightarrow B(6,16)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}4x+3y=72\\ y=0\end{array}\Rightarrow 4x=72\Rightarrow x=18\Rightarrow C(18,0)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{ofertas}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{ofertas}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ofrecer}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0)\Rightarrow B=0$

$A(0,20)\Rightarrow B=8\cdot 20=160$

$B(6,16)\Rightarrow B=4\cdot 6+8\cdot 16=24+128=152$

$C(18,0)\Rightarrow B=4\cdot 18=72$

El máximo se alcanza en el vértice $A(0,20)$. Comprobamos que 20 ofertas B caben en las existencias:

$6\cdot 20=120\le 120$ ensaimadas, $3\cdot 20=60\le 60$ cocas y $3\cdot 20=60\le 72$ barras de chocolate.

Tendrían que ofrecer 0 ofertas A y 20 ofertas B, con lo que el beneficio sería de 160 €. Con esa combinación se agotan las ensaimadas y las cocas de patata, y sobran 12 barras de chocolate.