Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

El barco de Denia a Ibiza lleva automóviles y camiones en la bodega. Cada camión ocupa cuatro plazas de automóvil. La superficie total de la bodega permite situar hasta 200 automóviles. Cada automóvil pesa 1000 kg, y cada camión, 9000 kg. El peso total permitido para la carga es de 300000 kg. La compañía cobra 50 euros por cada automóvil y 300 euros por cada camión.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de coches y camiones que se han de cargar para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{maximizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{programaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{lineal.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ al número de automóviles e $y$ al número de camiones que se cargan.

Hacemos una tabla para ordenar toda la información del enunciado. La superficie se mide en plazas de automóvil, que es la unidad que da el enunciado.

$$	$\text{Plazas}$	$\text{Peso (kg)}$	$\text{Ingresos (€)}$ $\text{Autom}\acute{\text{o}}\text{viles }(x)$	$x$	$1000x$	$50x$ $\text{Camiones }(y)$	$4y$	$9000y$	$300y$ $\text{Disponible}$	200	300 000	$$

La función objetivo es el beneficio, y hay que maximizarla.

$B(x,y)=50x+300y$

Las restricciones son la superficie de la bodega y el peso permitido.

Caben hasta 200 automóviles y cada camión ocupa cuatro plazas $\Rightarrow$ $x+4y\le 200$.

El peso total no puede pasar de 300 000 kg $\Rightarrow$ $1000x+9000y\le 300000$, que dividiendo entre 1000 queda $x+9y\le 300$.

El número de vehículos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0;y\ge 0$.

$\text{Maximizar }B(x,y)=50x+300y\text{sujeto a}\{\begin{array}{l}x+4y\le 200\\ x+9y\le 300\\ x\ge 0;y\ge 0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{factible}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtices}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{delimitan.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dibujamos las dos rectas con una tabla de valores de cada una.

$x+4y=200$	$x+9y=300$ $(0,50)$	$(0;\mathrm{33,33})$ $(200,0)$	$(300,0)$

La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices son:

Vértice $O$: el origen, $O(0,0)$.

Vértice $A$: $\{\begin{array}{l}x+9y=300\\ x=0\end{array}\Rightarrow 9y=300\Rightarrow y={\displaystyle \frac{100}{3}}\approx \mathrm{33,33}\Rightarrow A(0;{\displaystyle \frac{100}{3}})$

Vértice $B$: $\{\begin{array}{l}x+4y=200\\ x+9y=300\end{array}$ $\Rightarrow$ restamos las dos ecuaciones:

$(x+9y)-(x+4y)=300-200\Rightarrow 5y=100\Rightarrow y=20$

$x=200-4\cdot 20=120\Rightarrow B(120,20)$

Vértice $C$: $\{\begin{array}{l}x+4y=200\\ y=0\end{array}\Rightarrow x=200\Rightarrow C(200,0)$

El punto $(300,0)$, donde la recta del peso corta el eje de abscisas, no es vértice del recinto: en la bodega no caben más de 200 automóviles.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coches}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{camiones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cargar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Valoramos la función beneficio en los cuatro vértices.

$O(0,0)\Rightarrow B=0$

$A(0;{\displaystyle \frac{100}{3}})\Rightarrow B=300\cdot {\displaystyle \frac{100}{3}}=10000$

$B(120,20)\Rightarrow B=50\cdot 120+300\cdot 20=6000+6000=12000$

$C(200,0)\Rightarrow B=50\cdot 200=10000$

El máximo se alcanza en $B(120,20)$, y además con números enteros, que es lo que hace falta porque no se pueden cargar fracciones de vehículo; el vértice $A$ no serviría, porque exigiría 33,33 camiones.

Se han de cargar 120 automóviles y 20 camiones, y el beneficio máximo es de 12 000 €. Con esa combinación se agotan los dos recursos: $120+4\cdot 20=200$ plazas y $1000\cdot 120+9000\cdot 20=120000+180000=300000$ kg.