Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2021 (convocatoria extraordinaria)

El barco de Denia a Ibiza lleva automóviles y camiones en la bodega. Cada camión ocupa cuatro plazas de automóvil. La superficie total de la bodega permite situar hasta 200 automóviles. Cada automóvil pesa 1000 kg, y cada camión, 9000 kg. El peso total permitido para la carga es de 300000 kg. La compañía cobra 50 euros por cada automóvil y 300 euros por cada camión.

a) Plantee la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Calcule el número de coches y camiones que se han de cargar para obtener un beneficio máximo. Determine también este beneficio máximo. [2 puntos]

Dadas las matrices de la forma $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& b& 1\\ 0& 0& c\end{array}\right)$.

a) Calcule $A^2$. [2 puntos]

b) Encuentre $a$, $b$ y $c$ tales que $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. [8 puntos]

En una tienda de fruta hemos comprado manzanas a 0,5 euros cada una, aguacates a 1 euro y piñas a 1,5 euros la pieza. Al llegar a la caja nos damos cuenta de que llevamos 70 piezas de fruta, cuyo coste total es de 68 euros. También observamos que si las manzanas que llevamos fuesen aguacates y los aguacates fuesen manzanas, la compra nos saldría 4 euros más barata.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [5 puntos]

b) Determine el número de piezas de cada fruta que hemos comprado. [5 puntos]

Consideremos la función definida a trozos siguiente

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x+a& \text{si }x\le -2,\\ x^2-5& \text{si }-2<x<1,\\ -7x+3& \text{si }x\ge 1.\end{array}$

a) Calcule los valores de $a$ para que $f(x)$ sea continua. [3 puntos]

b) ¿Es $f(x)$ derivable para $a=1$? [3 puntos]

c) Para $a=0$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [4 puntos]

El número de individuos, en millones, de una población viene determinado por la función

$P(t)={\displaystyle \frac{2+t+t^2}{t^2+2t+1}},$

donde $t\ge 0$ mide el número de años transcurridos.

a) ¿Cuál es la población inicial ($t=0$) y la población después de 5 años? [2 puntos]

b) ¿A partir de qué momento la población será inferior a un millón de individuos? [4 puntos]

c) Con el paso de los años, ¿hacia qué valor tenderá el número de individuos de la población? [4 puntos]

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}+8$.

a) Encuentre los puntos de la gráfica en los cuales la recta tangente es paralela a la recta $3x+4y+5=0$. [4 puntos]

b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos encontrados en el apartado anterior. [2 puntos]

c) Calcule el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y las rectas $x=2$, $x=4$ e $y=0$. [4 puntos]

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la cual procede esta muestra es de 2 años.

a) Calcule un intervalo de confianza del 95 % para estimar la edad media de la población. [5 puntos]

b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para que, al estimar la edad media de esta población con un nivel de confianza del 92 %, el error cometido sea inferior a 0,5 años. [5 puntos]

En una determinada población residen 5000 personas en el centro y 10000 en la periferia. Se sabe que el 95 % de los residentes en el centro y que el 20 % de los que viven en la periferia opinan que el ayuntamiento tendría que restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad? [3 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso? [3 puntos]

c) Si la persona elegida opina que se tendría que restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad? [4 puntos]