Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una determinada población residen 5000 personas en el centro y 10000 en la periferia. Se sabe que el 95 % de los residentes en el centro y que el 20 % de los que viven en la periferia opinan que el ayuntamiento tendría que restringir el acceso de vehículos privados al centro urbano. Se elige al azar un residente de la población.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de restringir el acceso de vehículos privados al centro de la ciudad? [3 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción de acceso? [3 puntos]

c) Si la persona elegida opina que se tendría que restringir el acceso, ¿cuál es la probabilidad de que resida en el centro de la ciudad? [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{restringir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{acceso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{privados}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $C$ al suceso «residir en el centro», $P$ al suceso «residir en la periferia» y $F$ al suceso «estar a favor de la restricción».

Empezamos con las probabilidades de residencia, que salen de los habitantes de cada zona.

$\text{Total}=5000+10000=15000\text{ personas}$

$P(C)={\displaystyle \frac{5000}{15000}}={\displaystyle \frac{1}{3}},P(P)={\displaystyle \frac{10000}{15000}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Los otros dos datos son condicionadas.

$P(F\mathrm{/}C)=\mathrm{0,95},P(F\mathrm{/}P)=\mathrm{0,20}$

Hacemos un diagrama de árbol.



Los sucesos $C$ y $P$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorren las dos ramas que acaban en «a favor» y se suman sus productos.

$P(F)=P(C)\cdot P(F\mathrm{/}C)+P(P)\cdot P(F\mathrm{/}P)$

$P(F)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,95}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \mathrm{0,20}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,95}}{3}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}}{3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,35}}{3}}=\mathrm{0,45}$

La probabilidad de que la persona elegida esté a favor de restringir el acceso es de $\mathrm{0,45}$, es decir, un 45 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{resida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{favor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{restricci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acceso?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide la intersección, que es el producto de las probabilidades de la rama correspondiente del árbol.

$P(C\cap F)=P(C)\cdot P(F\mathrm{/}C)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{0,95}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,95}}{3}}={\displaystyle \frac{19}{60}}\approx \mathrm{0,3167}$

La probabilidad de que resida en el centro y esté a favor de la restricción es de $19\mathrm{/}60\approx \mathrm{0,3167}$, es decir, un 31,67 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{opina}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{restringir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{acceso,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{resida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Utilizamos el teorema de Bayes con los dos valores ya calculados.

$P(C\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{P(C\cap F)}{P(F)}}={\displaystyle \frac{19\mathrm{/}60}{\mathrm{0,45}}}$

$\mathrm{0,45}={\displaystyle \frac{9}{20}}\Rightarrow P(C\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{19}{60}}\cdot {\displaystyle \frac{20}{9}}={\displaystyle \frac{380}{540}}={\displaystyle \frac{19}{27}}$

$P(C\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{19}{27}}\approx \mathrm{0,7037}$

Si la persona elegida está a favor de la restricción, la probabilidad de que resida en el centro es de $19\mathrm{/}27\approx \mathrm{0,7037}$, es decir, un 70,37 %. Es más del doble del 33,33 % de partida: saber que alguien apoya la medida lo señala con fuerza como residente del centro, porque allí el apoyo es casi unánime.