Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

En una población una variable aleatoria sigue una ley normal con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67.

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para la media de la población. [5 puntos]

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar, con un nivel de confianza del 99 %, la media de la población con un error no superior a 2? [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{93}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma =8$, así que la media de una muestra de tamaño $n=100$ se distribuye así:

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}),{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{8}{\sqrt{100}}}={\displaystyle \frac{8}{10}}=\mathrm{0,8}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$IC=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Buscamos el valor crítico para una confianza del 93 %.

$1-\alpha =\mathrm{0,93}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,035}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,965}$

$z$	$P(Z\le z)$ 1,80	0,9641 1,81	0,9649 1,82	0,9656

El valor más próximo a 0,965 es 0,9649, así que tomamos $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,81}$.

$E=\mathrm{1,81}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{1,448}$

$IC=(67-\mathrm{1,448},67+\mathrm{1,448})=(\mathrm{65,552},\mathrm{68,448})$

Con una confianza del 93 %, la media de la población está entre 65,552 y 68,448.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tomar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{99}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{2?}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el valor crítico corresponde a una confianza del 99 %.

$1-\alpha =\mathrm{0,99}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,005}\Rightarrow P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,995}$

$z$	$P(Z\le z)$ 2,57	0,9949 2,58	0,9951

El valor 0,995 cae entre las dos filas, de modo que se toma el punto medio.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,57}+\mathrm{2,58}}{2}}=\mathrm{2,575}$

Imponemos que el error no pase de 2 y despejamos $n$.

$z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le 2\Rightarrow \mathrm{2,575}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{n}}}\le 2$

${\displaystyle \frac{\mathrm{20,6}}{\sqrt{n}}}\le 2\Rightarrow \sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{20,6}}{2}}=\mathrm{10,3}$

$n\ge {\mathrm{10,3}}^2=\mathrm{106,09}$

El tamaño de la muestra ha de ser un número entero mayor o igual que 106,09.

$n=107$

Hay que tomar una muestra de al menos 107 individuos.